Доказательство свойства вырезания

Мы обсуждаем доказательство свойства вырезания в гомологиях в терминах переформулировки, теоремы 6.7.1: если $\left\{ \mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B\right\}$ — открытое покрытие $X$, то гомоморфизм $S^{\left\{ A,B\right\} }(X) \to S(X)$ индуцирует изоморфизм в гомологиях (см. упражнение 6.7.2 для обозначения $S^{\left\{ A,B\right\} }(X) = S(A) + S(B)$). Мы ограничимся в основном случаями $k = 0, 1, 2$, где геометрические построения проще, и выведем общий случай из этих моделей. Поскольку $\left\{ \mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B\right\}$ — открытое покрытие, достаточно малые образы сингулярных симплексов должны лежать либо в $\mathrm{int}\, A$, либо в $\mathrm{int}\, B$; техническим средством для замены сингулярного симплекса с точностью до гомологий суммой малых симплексов является барицентрическое подразделение области определения, задаваемое индуктивно (никакого действия на $0$-симплексах; $1$-симплекс подразделяется на два $1$-симплекса половинной длины; $2$-симплекс подразделяется на шесть $2$-симплексов с использованием подразделения на границе, показанного на рисунке 6.7), при этом максимальный диаметр подразделённого $n$-симплекса уменьшается в $n/(n+1)$ раз; повторное подразделение (рисунок 6.8 показывает $\Delta_2$, подразделённый дважды) делает так, что части лежат внутри любого открытого покрытия исходного симплекса.

Барицентрическое подразделение \Delta _1 и \Delta _2.

Второе барицентрическое подразделение \Delta _2.

В размерности $0$ группа $H_0(X)$ измеряет линейно связные компоненты $X$; нам нужно увидеть, что $H_0(S(A) + S(B))$ также измеряет линейно связные компоненты. Проверьте заключение теоремы 6.7.1 в размерности $0$, показав следующее.

Мы разобьём проверку теоремы 6.7.1 в низких размерностях на несколько шагов, сначала введя оператор подразделения $\mathrm{Sd} : S_k(X) \to S_k(X)$ для $k = 0, 1, 2$. Начнём со стандартного $2$-симплекса $\Delta_2 = [e_0, e_1, e_2]$. Для $0$-симплекса $[x]$ положим $\mathrm{Sd}[x] = [x]$. Для тождественного $1$-симплекса $[e_0, e_1]$

где $\tilde{e}$ — барицентр $e = [e_0, e_1]$; здесь $[a,b]$ обозначает аффинно-линейное отображение из $\Delta_1$ на отрезок, соединяющий $a$ с $b$ в этом порядке, а $x.w = [x,w]$. В более общем случае, начиная с аффинно-линейного $k$-симплекса $[v_0, \ldots , v_k]$, образуем аффинно-линейный $(k+1)$-симплекс $v \cdot [v_0, \ldots , v_k] = [v, v_0, \ldots , v_k]$.

Покажите, что $\partial (v \cdot [v_0, \ldots , v_k]) = [v_0, \ldots , v_k] - v \cdot \partial [v_0, \ldots , v_k]$.

Определим $\mathrm{Sd}(\sigma ) = \sigma_\# (\mathrm{Sd}[e_0,e_1])$ для произвольного сингулярного $1$-симплекса $\sigma$ (с $\mathrm{Sd}[e_0,e_1]$, как в упражнении 6.17.2), продолженное линейно на $1$-цепи. Геометрически это заменяет сингулярный симплекс знаковой суммой сингулярных симплексов, представляющих композицию исходного сингулярного симплекса с аффинно-линейными отображениями в части подразделённого геометрического симплекса; прообраз открытого покрытия в симплексе-области после конечного числа подразделений даёт образы новых частей, лежащие в элементах открытого покрытия.

Проверьте, что

Распространите это, чтобы показать, что для любой $1$-цепи $c$ выполняется

В частности, это означает, что $\mathrm{Sd}$ является цепным отображением в размерностях $\leq 1$.

Используя цепное отображение $\mathrm{Sd}$ (упражнение 6.17.3), дайте ещё одно доказательство того, что существует изоморфизм из $H_0(S(A) + S(B))$ в $H_0(X)$.

Начиная с тождественного сингулярного $2$-симплекса и затем распространяя на сингулярные $2$-симплексы и $2$-цепи, покажите, что справедлива формула

Заключите, что $\mathrm{Sd}$ является цепным отображением для размерностей $\leq 2$.

Распространите определение $\mathrm{Sd}$ (упражнения 6.17.3, 6.17.5) до цепного отображения во всех размерностях.

Мы утверждаем, что подразбиение $1$-цепи не должно изменять её с точностью до гомологии. Чтобы убедиться в этом, нам нужны ещё два оператора $H_0 : S_0(X) \to S_1(X)$, $H_1 : S_1(X) \to S_2(X)$, задающие, по сути, цепную гомотопию между $\mathrm{Sd}$ и тождественным отображением (где $\mathrm{Sd}$ определено, как в упражнениях 6.17.2--6.17.6). Гомоморфизм $H_0(\sigma_0) = 0$; отметим тривиальную формулу $\partial H_0(c) = (\mathrm{Id} - \mathrm{Sd})(c) = 0$ для любой $0$-цепи $c$. Мы хотим получить отображение $H_1$ с аналогичной формулой, $\partial H_1(c) + H_0 \partial (c) = \partial H_1(c) = (\mathrm{Id} - \mathrm{Sd})(c)$, в размерности $1$.

Начнём с определения $H_1$ на тождественном сингулярном $1$-симплексе по формуле

Тогда

Продолжите определение $H_1$ на $1$-цепи так, чтобы выполнялась формула $\partial H_1 + H_0 \partial = \mathrm{Id} - \mathrm{Sd}$.

Пусть $X = A \cup B$, где $\left\{ \mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B\right\}$ — открытое покрытие $X$. Покажите, что для любого сингулярного $1$-симплекса $\sigma$ найдётся целое число $k$, такое что $\mathrm{Sd}^k \sigma$ является цепью в $S(A) + S(B)$ (где $\mathrm{Sd}$ определено, как в упражнениях 6.17.2--6.17.6). Используйте это, чтобы показать, что отображение $S(A) + S(B) \to S(X)$ индуцирует сюръективное отображение на $H_1$.

Пусть $X = A \cup B$, где $\left\{ \mathrm{int}\, A, \mathrm{int}\, B\right\}$ — открытое покрытие $X$. Пусть $c \in S_1(A) + S_1(B)$ — сингулярная цепь, являющаяся циклом ($\partial c = 0$), так что при рассмотрении её как цепи в $S_1(X)$ она является границей: $c = \partial d$. Покажите, что $\mathrm{Sd}(c) = \partial \mathrm{Sd}(d)$ также является границей в $X$ и представляет тот же класс гомологий, что и $c$, в $H_1(S(A) + S(B))$. Взяв достаточное число подразбиений, покажите, что отображение $H_1(S(A) + S(B)) \to H_1(X)$ инъективно.

Докажите теорему 6.7.1 (сформулированную в замечании к упражнению 6.17.1) для размерности $1$, используя упражнения 6.17.8 и 6.17.9.

Мы хотим определить аналогичное отображение $H_2 : S_2(X) \to S_3(X)$ (продолжающее $H_1$ из упражнения 6.17.7). Покажите, что $\partial (\mathrm{Id} - \mathrm{Sd} - H_1 \partial )(c) = 0$.

Для стандартного $2$-симплекса $[e_0, e_1, e_2]$ определим

(где $H_1$ определено, как в упражнении 6.17.7, а $\tilde{t}$ — обозначение барицентра из упражнения 6.17.5). Покажите, что

Продолжив $H_2$ (упражнение 6.17.12) на сингулярный $2$-симплекс, а затем окончательно продолжив на $2$-цепи, определите отображение $H_2 : S_2(X) \to S_3(X)$ так, чтобы

Докажите теорему 6.7.1 (сформулированную в замечании к упражнению 6.17.1) для размерности $2$, используя упражнение 6.17.13.

Продолжите определение $H_n$ (упражнения 6.17.7, 6.17.11--6.17.13) до цепного отображения во всех размерностях, удовлетворяющего $\partial H_n(c) + H_{n-1}\partial (c) = (\mathrm{Id} - \mathrm{Sd})(c)$.

Обобщите идеи упражнений 6.17.1--6.17.15, чтобы доказать теорему 6.7.1 (сформулированную в замечании к упражнению 6.17.1) в общем случае.