Доказательство гомотопической инвариантности гомологий

Пусть $f, g : X \to Y$ — гомотопные отображения, связанные гомотопией $F$, причём $F(x,1) = g(x)$, $F(x,0) = f(x)$. Чтобы показать, что $f_\# , g_\#$ цепно гомотопны (а значит, $f_* = g_*$ в гомологиях), сначала рассмотрим размерность $0$. Поскольку эти отображения линейны, достаточно рассмотреть сингулярный $0$-симплекс $\sigma$; индуцированные отображения — $f_\# (\sigma ) = f\sigma$ и $g_\# (\sigma ) = g\sigma$. Пусть $\sigma (0) = p$. Пусть $\gamma : [0,1] = \Delta_1 \to Y$ — сингулярный $1$-симплекс, определённый композицией $[0,1] \to \left\{ p\right\} \times [0,1] \xrightarrow {F} Y$.

Определим $H_0(\sigma ) = \gamma$ и покажем, что $H_0$ задаёт цепную гомотопию между $f\sigma$ и $g\sigma$.

Теперь рассмотрим размерность $1$: нужно определить $H_1 : S_1(X) \to S_2(Y)$ так, чтобы для сингулярного $1$-симплекса $\sigma : I \to X$ выполнялась формула $g_\# \sigma - f_\# \sigma = \partial_2 H_1(\sigma ) + H_0 \partial_1(\sigma )$ (где $H_0$ — как в упражнении 6.16.1).

Сначала используем гомотопию $F$, чтобы определить отображение $K = F(\sigma \times \mathrm{id}) : I \times I \to Y$, где $\sigma \times \mathrm{id} : I \times I \to X \times I$. Заметим, что $Ki_0 = f\sigma$, $Ki_1 = g\sigma$, где $i_0(s) = (s,0)$, $i_1(s) = (s,1)$. Если $\tau_1(0) = \sigma (1)$, $\tau_0(0) = \sigma (0)$ — сингулярные $0$-симплексы, получаемые ограничением $\sigma$ на её концевые точки, то $\partial_1 \sigma = \tau_1 - \tau_0$, и $H_0(\tau_1)(y) = K(1,y)$, $H_0(\tau_0)(y) = K(0,y)$.

Построение H_1.

Руководствуясь рисунком 6.6, определим два сингулярных $2$-симплекса $\alpha , \beta$ в $I \times I = \Delta_1 \times I$ с положительной ориентацией на $\alpha$ и отрицательной ориентацией на $\beta$, как изображено стрелками на их границах, и положим $H_1(\sigma ) = K\beta - K\alpha = K_\# (\beta - \alpha )$.

Покажите, что при таком определении $H_1$ выполняется требуемая формула $g_\# (\sigma ) - f_\# (\sigma ) = \partial_2 H_1(\sigma ) + H_0 \partial_1(\sigma )$.

Используя упражнения 6.16.1 и 6.16.2, покажите, что если $f, g : X \to Y$ — гомотопные отображения, то индуцированные отображения $f_\# , g_\#$ цепно гомотопны в размерностях $0$ и $1$. Выведите отсюда, что $f_* = g_*$ в гомологиях.

Чтобы распространить $H_0, H_1$ на цепи более высоких размерностей, заметим, что гомотопия $F$ используется только на последнем шаге и может быть отделена от определения: записывая $i_j^X : X \to X \times I$ для $i_j^X(x) = (x,j)$, имеем $g = F i_1^X$, $f = F i_0^X$. Если обозначить уже определённые отображения $H_k = H_k^{X,Y} : S_k(X) \to S_{k+1}(Y)$ ($k=0,1$, упражнения 6.16.1–6.16.2), то существуют соответствующие отображения $H_k^X : S_k(X) \to S_{k+1}(X \times I)$ (использующие тождественную гомотопию $I(x,t) = (x,t)$, связывающую $i_0^X$ и $i_1^X$), такие что $H_k^{X,Y}$ раскладывается как $F_\# H_k^X$. Член $(\partial_2 H_1^{X,Y} + H_0^{X,Y}\partial_1)(\sigma )$ переходит в $F_\# (\partial H_1^X + H_0^X \partial_1)(\sigma )$, а поскольку $g_\# = F_\# (i_1^X)_\#$, $f_\# = F_\# (i_0^X)_\#$, можно переписать $g_\# (\sigma ) - f_\# (\sigma ) = F_\# ((i_1^X)_\# (\sigma ) - (i_0^X)_\# (\sigma ))$. Таким образом, формула следует из частного случая

посредством композиции с $F_\#$.

Пусть $i_j^{\Delta_1}$ — соответствующие вложения для $\Delta_1$. Используя тождественное отображение $\iota_1 \in S_1(\Delta_1)$, имеем формулу $(\partial_2 H_1^{\Delta_1} + H_0^{\Delta_1} \partial_1)(\iota_1) = ((i_1^X)_\# - (i_0^X)_\# )(\iota_1)$; применяя $(\sigma \times \mathrm{id})_\#$ к обеим частям и используя, что $H_1^X(\sigma ) = (\sigma \times \mathrm{id})_\# (\beta - \alpha ) = (\sigma \times \mathrm{id})_\# H_1^{\Delta_1}(\iota_1)$ (упражнение 6.16.2), а также то, что $(\sigma \times \mathrm{id})_\#$ — цепное отображение, коммутирующее с $\partial_2$, левая часть переходит в $(\sigma \times \mathrm{id})_\# ((\partial_2 H_1^{\Delta_1} + H_0^{\Delta_1}\partial_1)(\iota ))$. В правой части, используя $\sigma = \sigma_\# (\iota_1)$ и $i_j^X \sigma = (\sigma \times \mathrm{id}) i_j^{\Delta_1}$, получаем $(i_j^X)_\# (\sigma ) = (\sigma \times \mathrm{id})_\# (\iota_1)$, так что правая часть переходит в $(\sigma \times \mathrm{id})_\# ((i_1^{\Delta_1})_\# (\iota_1) - (i_0^{\Delta_1})_\# (\iota_1))$.

Проверьте с помощью рассуждения, аналогичного приведённому выше, что

следует из аналогичной формулы

Покажите, что если $f : X \to Y$ — непрерывное отображение, то $H_i^Y(f_\# (\sigma )) = (f \times \mathrm{id})_\# (H_i^X(\sigma ))$, $i = 0, 1$ (где $H_i^X$ определены как в упражнениях 6.16.1, 6.16.2 и 6.16.4).

Теперь распространим $H_i^X(\sigma )$ на случай $i \geq 2$: сначала определим его для $X = \Delta_i$ и $\sigma = [e_0, \ldots , e_i]$, показав, что он удовлетворяет соотношению $\partial_{i+1} H_i([e_0, \ldots , e_i]) + H_{i-1}\partial ([e_0, \ldots , e_i]) = (i_1)_\# ([e_0,\ldots ,e_i]) - (i_0)_\# ([e_0,\ldots ,e_i])$, а затем распространим его посредством $H_i^X(\sigma ) = (\sigma \times \mathrm{id})_\# H_i^{\Delta_i}([e_0,\ldots ,e_i])$ (удовлетворяющего аналогичной формуле для $X$ и той же естественностью, что и в упражнении 6.16.5). Мы распространяем $H_i$ индуктивно, уже определив $H_j$ для $j < i$ на $\Delta_j$ и распространив его на произвольное $X$ посредством $H_j^X(\sigma ) = (\sigma \times \mathrm{id})_\# H_j^{\Delta_j}([e_0,\ldots ,e_j])$; в частности, $H_{i-1}$ уже определено на отображениях граней $F_k : \Delta_{i-1} \to \Delta_i$, что даёт $H_{i-1}^{\Delta_i} \partial_i([e_0,\ldots ,e_i])$. Обозначим $v_j = (e_j, 0)$ и $w_j = (e_j, 1)$ (точки $\Delta_i \times I$). Общее определение $H_i([e_0,\ldots ,e_i])$ в произвольной размерности имеет вид

Покажите, что

Покажите, что

(обозначения как в упражнениях 6.16.6--6.16.7).

Объедините вычисления упражнений 6.16.7 и 6.16.8, чтобы показать, что

Покажите, что если определить $H_i^X(\sigma ) = (\sigma \times \mathrm{id})_\# H_i([e_0,\ldots ,e_i])$ (где $H_i$ определены как в упражнениях 6.16.6--6.16.9) и распространить по линейности на цепи, то это удовлетворяет условию

Более того, покажите, что это удовлетворяет свойству естественности: если $f : X \to Y$, то $(f \times \mathrm{id})_\# H_i^X = H_i^Y f_\#$.

Формула из упражнения 6.16.10 показывает, что $(i_0^X)_\#$ и $(i_1^X)_\#$ являются цепно-гомотопными цепными отображениями с цепной гомотопией $H_i^X$; следовательно, они индуцируют одно и то же отображение в гомологиях, $(i_0^X)_* = (i_1^X)_*$. Применяя это к гомотопным отображениям $f_0 \sim f_1$ посредством гомотопии $F : X \times I \to Y$: $(f_j)_* = F_*(i_j)_*$, так что $(f_0)_* = (f_1)_*$, что доказывает свойство гомотопической инвариантности в абсолютном случае.

Докажите, что если $f : X \to Y$ — гомотопическая эквивалентность, то $f_* : H_k(X) \to H_k(Y)$ является изоморфизмом.