Ориентация и гомологии

Предположим, что $M$ — $n$-многообразие, и $x \in \mathrm{int}\, M$. Пусть $h : D^n \to M$ — ограничение гомеоморфизма $h'$ из $\mathbb {R}^{n}$ на открытое множество $U'$ в $\mathrm{int}\, M$, такое что если $U = h(\mathrm{int}\, D^n)$, то $x = h(y) \in U$.

Покажите, что если $D_+^n$ — верхний полудиск, а $S_+^{n-1}$ — верхняя половина сферы, то $H_k(D_+^n, S_+^{n-1}) \simeq 0$.

Покажите, что граничная точка $x$ и внутренняя точка $y$ $n$-многообразия $M$ с краем различаются своими группами гомологий $H_n(M, M \setminus \left\{ x\right\} ) \simeq 0$ и $H_n(M, M \setminus \left\{ y\right\} ) \simeq \mathbb {Z}$ (используя упражнение 6.15.2 и упражнение 6.15.1(б)).

Покажите, что если $M$ — $n$-многообразие, то оно не является $m$-многообразием при $m \neq n$.

Покажите, что если связное $n$-многообразие $M$ ориентируемо (определение 6.15.1, упражнение 6.15.1), то выбор гомологической ориентации в фиксированной точке $x_0$ определяет выбор всюду.

Пусть $M$ — компактное связное гомологически ориентируемое $n$-многообразие без края (определение 6.15.1). Обозначим через $\mu \in H_n(M)$ образующую с $\mu \mapsto \mu_z$ при отображении $r_z : H_n(M) \to H_n^{M,z}$, где $\mu_z$ — класс из определения гомологической ориентации.

Пусть $H : \mathbb {R}^{n} \times I \to \mathbb {R}^{n} \times I$ — изотопия. Продолжим $H$ до отображения $\bar{H} : S^n \times I \to S^n \times I$, рассматривая $\mathbb {R}^{n}$ как вложенное в $S^n$ в виде $S^n \setminus \left\{ N\right\}$, где $N = (0,1)$, и полагая $\bar{H}(N,t) = (N,t)$. Покажите, что $\bar{H}$ является изотопией.

Пусть $h_0, h_1 : D^n \to \mathbb {R}^{n}$ — вложенные диски, амбиентно изотопные. Рассматривая $\mathbb {R}^{n}$ как вложенное в $S^n$ в виде $S^n \setminus \left\{ N\right\}$ и беря гомологическую ориентацию $\mathbb {R}^{n}$, происходящую из гомологической ориентации $S^n$ (упражнение 6.15.7, упражнение 6.15.8), покажите, что если $(h_0)_*(\mu_D) = \epsilon \mu_{h_0(0)}$, то $(h_1)_*(\mu_D) = \epsilon \mu_{h_1(0)}$. Заключите, что $h_0$ не амбиентно изотопен $h_0 r$ (где $r$ — отражение $D^n$, как в упражнении 6.15.6(г)).

Пусть $G_t : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ — изотопия, являющаяся тождественным отображением вне некоторого большого диска $B$, с $G_0 = \mathrm{id}$.

Пусть $G_t : \mathbb {R}^{n} \to \mathbb {R}^{n}$ — изотопия с $G_0 = \mathrm{id}$ (без предположения, что $G_t$ тождественна вне диска, в отличие от упражнения 6.15.10).

Обозначим через $\Gamma_M$ множество сечений накрывающего пространства $\hat{M}$ (упражнение 6.15.12, упражнение 6.15.14). Покажите, что если $s_1, s_2 \in \Gamma_M$ и $s_1(x) = s_2(x)$ для некоторой точки $x$, то $s_1 = s_2$.

Покажите, что сечение $s : M \to \hat{M}$ (упражнение 6.15.14) существует тогда и только тогда, когда накрывающее пространство $(\hat{M}, \hat{p}, M)$ эквивалентно двум копиям тождественного накрывающего пространства, или, что то же самое, $\hat{M}$ является объединением двух компонент, каждая из которых гомеоморфно отображается на $M$ посредством $\hat{p}$.

Покажите, что $M$ ориентируемо (Определение 6.15.1) тогда и только тогда, когда $\hat{M}$ гомеоморфно дизъюнктному объединению двух копий $M$.

Используя теорию накрывающих пространств, покажите, что односвязное многообразие ориентируемо.

Предположим, что $M$ связно. Покажите, что $\Gamma_M$ (сечения $\hat{M}$, упражнение 6.15.15) обладает структурой группы, и вычислительное отображение $E : \Gamma_M \to H_n^{M,x} \simeq \mathbb {Z}$, заданное формулой $E(s) = s(x)$, является инъективным гомоморфизмом (мономорфизмом) для всех $x \in M$.

Для многообразия $M$ с, возможно, пустым краем существует отображение $S_M : H_n(M, \partial M) \to \Gamma_{\mathrm{int}\, M}$ такое, что $S_M(\alpha )(x) = r_x(\alpha )$.

Предположим, что $M$ связно и компактно, $\partial M = \emptyset$.

Предположим, что $M$ связно, некомпактно и $\partial M = \emptyset$. Пусть $i \geq n$. Пусть $\alpha \in H_i(M)$ представлен цепью $c$, и пусть $S$ — носитель $c$.

Упражнения 6.15.23--6.15.24 разобрали теорему 6.15.2(1)--(3) (сформулированную в замечании к упражнению 6.15.6) для случая $\partial M = \emptyset$. Следующие упражнения предполагают $\partial M \neq \emptyset$, используя тот факт, что существует воротниковая окрестность $C$ края $\partial M$, гомеоморфная $\partial M \times [0,1]$.

Пусть $C \simeq_h \partial M \times [0,1]$ — воротник. Пусть $C_t = h[0,t)$ и $A_t = M \setminus C_t$, $t \leq 1$.

Используя упражнение 6.15.25 (для $M$ с $\partial M \neq \emptyset$), покажите, что $H_i(M) = 0$, $i \geq n$ (разобрав тем самым оставшиеся случаи теоремы 6.15.2(1)--(4)).

Пусть $M$ компактно и ориентируемо, с $\partial M \neq \emptyset$. Пусть $s(x) = \mu_x \in \Gamma_{\mathrm{int}\, M}$ — сечение для $x \in \mathrm{int}\, M$. Покажите, что существует класс в $H_n(M, \partial M)$, который отображается в $\mu_x$ под действием отображения $r_x : H_n(M, \partial M) \to H_n^{M,x}$ для каждого $x \in \mathrm{int}\, M$ (это завершает доказательство теоремы 6.15.2(5)).

Теперь мы возвращаемся к доказательству теоремы 6.15.3 (сформулированной в замечании к упражнению 6.15.23). Ключевой момент — исследовать относительную последовательность Майера--Вьеториса, связывающую гомологии $(M, M \setminus C)$, когда $C$ принимает значения $C = A, B, A \cap B, A \cup B$, используя $(M \setminus A) \cup (M \setminus B) = M \setminus (A \cap B)$, $(M \setminus A) \cap (M \setminus B) = M \setminus (A \cup B)$.

Покажите, что если $U, V$ — открытые множества в $M$, то существует длинная точная последовательность с фрагментом

Используя упражнение 6.15.28, покажите, что если $A, B$ — замкнутые подмножества $M$, то существует длинная точная последовательность

Точная последовательность из упражнения 6.15.29 лежит в основе большей части оставшихся рассуждений, доказывающих теорему 6.15.3 (упражнение 6.15.23): покажите, что если $A, B, A \cap B$ удовлетворяют заключению теоремы 6.15.3, то ему удовлетворяет и $A \cup B$.

Смысл упражнения 6.15.30 в том, что мы можем индуктивно строить множества $C$, удовлетворяющие заключению теоремы 6.15.3 (упражнение 6.15.23), начиная с частей $A, B, A \cap B$, обладающих этим свойством, и используя $C = A \cup B$. Если $C$ — компактное подмножество координатной окрестности $U \subset M$, гомеоморфной $\mathbb {R}^{n}$, то $H_k^{M,C} \simeq H_k^{\mathbb {R}^{n},C}$ по вырезанию, так что достаточно доказать эти утверждения при $M = \mathbb {R}^{n}$. Отправная точка — случай, когда $M = \mathbb {R}^{n}$, а $C$ — куб некоторой размерности $k$ с $0 \leq k \leq n$ (произведение отрезков $I_1 \times \cdots \times I_n$, каждый отрезок вида $[a_i, b_i]$ с $a_i \leq b_i$) — это случай предложения 6.15.1 (замечание к упражнению 6.15.11).

Теперь рассмотрим пространство $C^s$, образованное из $n$-мерного куба разбиением каждого подынтервала. Оно строится из подкубов путём добавления их по одному шагу за раз, причём пересечения являются конечными объединениями кубов меньшей размерности; думайте об этом как о CW-комплексе, клетками которого являются вложенные кубы различных размерностей. Пусть $K$ — произвольный подкомплекс $C^s$.

Покажите, что если $K$ — подкомплекс $C^s$, то заключение теоремы 6.15.3 выполняется для $K$.

Пусть $A$ — компактное подмножество $\mathbb {R}^{n}$, содержащееся в большом кубе $C$. Последовательно подразделяя этот куб на подкубы (скажем, деля рёбра пополам, на четверти и т.д.), пусть $K^i$ — подкомплекс $i$-го подразделения, состоящий из всех замкнутых подкубов, пересекающих $A$ где-либо во внутренности (обозначения как в упражнении 6.15.31). Тогда $\cdots \subset K^2 \subset K^1 \subset K^0 = C$ и $A \subset K^i$ для всех $i$, причём $A = \bigcap_i K^i$.

Пусть $\alpha \in H_i^{\mathbb {R}^{n}, A}$ представлен цепью $c$. Рассмотрим $\partial c$: это конечная сумма сингулярных симплексов, каждый из которых имеет образ в $\mathbb {R}^{n} \setminus A$. Пусть $B \subset \mathbb {R}^{n} \setminus A$ — компактное множество, состоящее из образов этих симплексов.

Мы уже доказали теорему 6.15.3 (упражнение 6.15.23) для $M = \mathbb {R}^{n}$ и произвольного компактного подмножества $A$ (упражнение 6.15.32). Покажите, что теорема 6.15.3 верна для общего связного $n$-многообразия $M$, когда $A$ — компактное подмножество координатной окрестности $U$.

Покажите, что любое компактное множество $A \subset M$ можно записать в виде объединения $A = A_1 \cup \cdots \cup A_m$ конечного числа множеств $A_i$, являющихся компактными множествами в евклидовой окрестности $U_i \subset M$.

Используя индукцию по числу множеств $m$ в описании из упражнения 6.15.34 и упражнение 6.15.33, завершите доказательство теоремы 6.15.3 (упражнение 6.15.23).