Теорема Жордана о кривой и её обобщения

Мы применяем приведённую точную последовательность Майера--Вьеториса для доказательства теоремы Жордана о кривой, работая в $S^2$, а не в $\mathbb {R}^{2}$: существует гомеоморфизм между $\mathbb {R}^{2}$ и $S^2 \setminus \left\{ N\right\}$, где $N$ — северный полюс, и поскольку существует вращение, переводящее любую точку сферы в другую (сфера однородна, как и любая связная поверхность, см. упражнение 2.9.34), $S^2 \setminus \left\{ p\right\}$ гомеоморфно $\mathbb {R}^{2}$ для любой точки $p$.

Предположим, что $C$ — компактное множество в $\mathbb {R}^{2}$, а $h(C)$ — его образ при гомеоморфизме между $\mathbb {R}^{2}$ и $S^2 \setminus \left\{ p\right\}$. Покажите, что одна из компонент линейной связности $\mathbb {R}^{2} \setminus C$ содержит все точки вне некоторого большого шара, и что существует гомеоморфизм между этой компонентой линейной связности и $K \setminus \left\{ p\right\}$, где $K$ — компонента линейной связности $S^2 \setminus h(C)$, содержащая $p$. Покажите, что для всех остальных компонент линейной связности $\mathbb {R}^{2} \setminus C$ существует гомеоморфизм на соответствующую компоненту линейной связности $S^2 \setminus h(C)$.

Упражнение 6.14.1 позволяет перенести задачу о том, что простая замкнутая кривая разбивает $\mathbb {R}^{2}$ на две компоненты линейной связности, в задачу на сфере. Сначала требуется показать, что дуга не разбивает сферу на несколько компонент линейной связности. Под дугой понимается гомеоморфный образ отрезка $[a,b]$. (Определение 6.14.1: множество $C$ разбивает $S^2$, если $S^2 \setminus C$ не является линейно связным, или, что эквивалентно, $\bar{H}_0(S^2 \setminus C) \not\simeq 0$.)

Пусть $A$ — дуга $h([a,b])$ в $S^2$ и $c = \frac{1}{2}(a+b)$. Пусть $A_1 = h([a,c])$, $A_2 = h([c,b])$. Используя точную последовательность Майера--Вьеториса с

покажите, что $\bar{H}_0(S^2 \setminus A_1) \oplus \bar{H}_0(S^2 \setminus A_2) \simeq \bar{H}_0(S^2 \setminus A)$.

Используя упражнение 6.14.2, покажите, что если дуга $A$ разбивает $S^2$ (определение 6.14.1), то существует последовательность поддуг $\cdots \subset A_i \subset A_{i-1} \subset \cdots \subset A_1 \subset A$, такая что отображения, индуцированные включениями $\bar{H}_0(S^2 \setminus A) \to \bar{H}_0(S^2 \setminus A_1) \to \cdots \to \bar{H}_0(S^2 \setminus A_i)$, каждое переводит заданный нетривиальный элемент $[p] - [q]$ в нетривиальный элемент. Более того, покажите, что эти поддуги пересекаются в одной точке.

Используя упражнение 6.14.3, докажите теорему 6.14.1: если $A$ — дуга в $S^2$, то $S^2 \setminus A$ линейно связно (т.е. дуга не разбивает $S^2$ в смысле определения 6.14.1).

Используя рассуждение, аналогичное тому, что применялось для $\bar{H}_0$ (упражнения 6.14.2--6.14.4), покажите, что $H_1(S^2 \setminus A) \simeq 0$, где $A$ — дуга в $S^2$.

Рассмотрим простую замкнутую кривую $C \subset S^2$. Поскольку $C = h(S^1)$, а $S^1$ является объединением двух подудуг, мы можем записать $C = A_1 \cup A_2$, где $A_1 \cap A_2 = \left\{ p,q\right\}$ представляют две точки на сфере.

Предположим, что $p, q$ — точки в различных линейно связных компонентах $K_1, K_2$ множества $S^2 \setminus C$ (где $C$ — простая замкнутая кривая, как в упражнении 6.14.6), и $r \in C$. Пусть $D$ — открытый диск с центром в $r$. Покажите, что в $D$ есть точка каждой линейно связной компоненты.

Докажите теорему 6.14.2 (теорему Жордана о кривой): пусть $C$ — простая замкнутая кривая в $\mathbb {R}^{2}$.

Докажите лемму 6.14.3: предположим, что имеется замкнутое множество $B$, представленное как пересечение вложенного семейства замкнутых множеств $B_i$, $i = 0, \ldots , \infty$, с $B_{i+1} \subset B_i$, и ненулевой элемент $x \in \bar{H}_p(S^n \setminus B_0)$, который инъективно отображается в $\bar{H}_p(S^n \setminus B_i)$ для всех $i$. Тогда $x$ инъективно отображается в ненулевой элемент $\bar{H}_p(S^n \setminus B)$.

Используя индукцию и последовательность Майера--Вьеториса, докажите теорему 6.14.4: предположим, что $h : D^k \to S^n$ — вложение. Тогда $\bar{H}_i(S^n \setminus h(D^k)) \simeq 0$, $i \geq 0$.

Докажите теорему 6.14.5 (двойственность Александера для сфер) для случая $k = 0$: предположим, что $h : S^k \to S^n$, $0 \leq k < n$, — вложение. Тогда

При условиях теоремы 6.14.5 (упражнение 6.14.12) с $k = m+1 \geq 1$, используя точную последовательность Майера--Вьеториса, основанную на разложении

и результатах о гомологиях дополнений вложенных дисков (теорема 6.14.4, упражнение 6.14.11), покажите, что

Используя упражнения 6.14.12 и 6.14.13 и индукцию, докажите теорему 6.14.5 (двойственность Александера для сфер, сформулированную в упражнении 6.14.12) в общем случае.

Докажите теорему 6.14.6 (теорема Жордана об отделении): предположим, что $h : S^{n-1} \to S^n$ — вложение. Тогда $S^n \setminus h(S^{n-1})$ является дизъюнктным объединением двух открытых множеств. Замыкание каждого множества есть объединение этого множества и $h(S^{n-1})$.

Теорема 6.14.7 (инвариантность области): предположим, что $U$ — открытое подмножество $\mathbb {R}^{n}$, а $f : U \to \mathbb {R}^{n}$ — взаимно однозначное непрерывное отображение. Тогда $f$ является открытым отображением, то есть переводит открытые множества в открытые множества. (Композируя $f$ с гомеоморфизмом между $\mathbb {R}^{n}$ и $S^n \setminus \left\{ p\right\}$, мы можем считать, что образ содержится в $S^n$, и достаточно показать, что образ открытого множества в $U$ является открытым множеством в $S^n$.)

Пусть $x \in U$, $y = f(x) \in S^n$, и пусть $V$ — открытое множество в $U$, содержащее $x$. Выберем малый диск $D_x = D(x, \epsilon )$ вокруг $x$, содержащийся в $V$, с $S_x = \partial D_x$.