Банк задач по математике

Задача 6.13.1

При $\epsilon$ , $H_0(C)$ , $\bar{H}_0(C)$ , определённых ниже, покажите, что короткая точная последовательность

0 \to \ker (\epsilon ) \to C_0 \xrightarrow {\epsilon } \mathbb {Z} \to 0,

приводит к короткой точной последовательности

0 \to \bar{H}_0(C) \to H_0(C) \to \mathbb {Z} \to 0,

которая расщепляется, давая $H_0(C) \simeq \bar{H}_0(C) \oplus \mathbb {Z}$ .

?

Примечание.

?

Дан цепной комплекс свободных абелевых групп $(C_i, \partial_i)$ , $i \geq 0$ ; расширим его, введя $C_{-1} = \mathbb {Z}$ . Определим $\partial_0 = \epsilon$ , сначала выбрав базис образующих $C_0$ и положив $\epsilon (g) = 1$ для каждой образующей $g$ ; тогда $\ker (\epsilon )$ порождается как свободная группа разностями образующих. Если $\partial_1$ обладает тем свойством, что для образующей $g$ группы $C_1$ элемент $\partial_1(g)$ является разностью образующих, то $\mathrm{im}(\partial_1) \subset \ker (\epsilon )$ , так что расширенный цепной комплекс по-прежнему является цепным комплексом; $\partial_0 = \epsilon$ называется аугментацией.

Определение 6.13.1: приведённые гомологии $\bar{H}_k(C)$ — это гомологии аугментированного цепного комплекса при $k \geq 0$ . Они совпадают с $H_k(C)$ в размерностях больше $0$ , но $\bar{H}_0(C) = \ker (\epsilon )/\mathrm{im}(\partial_1)$ , тогда как $H_0(C) = C_0/\mathrm{im}(\partial_1)$ .

Для сингулярного комплекса $S(X)$ топологического пространства $X$ аугментация $\epsilon : S_0(X) \to \mathbb {Z}$ определяется как $\epsilon (\sigma ) = 1$ для сингулярного $0$ -симплекса $\sigma$ , а приведённые гомологии $\bar{H}_k(X)$ — это гомологии этого аугментированного сингулярного комплекса.

Задача 6.13.2

(a)(b)(c)

?

(a)

Проверьте, что для $S(X)$ выполняется $\epsilon \partial_1 = 0$ (обозначения как в упражнении 6.13.1).

(b)

Покажите, что $H_0(X) \simeq \bar{H}_0(X) \oplus \mathbb {Z}$ .

(c)

Покажите, что топологическое пространство линейно связно тогда и только тогда, когда $\bar{H}_0(X) \simeq 0$ .

Задача 6.13.3

Покажите, что приведённые гомологии сферы можно записать в виде

\bar{H}_k(S^n) = \begin{cases} \mathbb {Z} & k = n, \\ 0 & k \neq n. \end{cases}

?

Задача 6.13.4

Покажите, что гомологии надстройки $\Sigma X$ линейно связного пространства можно записать в виде $H_{k+1}(\Sigma X) \simeq \bar{H}_{k+1}(\Sigma X) = \bar{H}_k(X)$ при $k \geq 0$ .

?

Задача 6.13.5

Используя дополненный комплекс вместо исходного комплекса и то, что $S_{-1}(X, A) = S_{-1}(X)/S_{-1}(A) = \mathbb {Z}/\mathbb {Z} = 0$ , покажите, что существует длинная точная последовательность в приведённых группах гомологий, которая заканчивается следующим образом:

H_1(X, A) \to \bar{H}_0(A) \to \bar{H}_0(X) \to H_0(X, A) \to 0.

?

Задача 6.13.6

Предположим, что $X = A \cup B$ , $A \cap B \neq \emptyset$ , и выполнены предположения, дающие обычную точную последовательность Майера--Вьеториса. Точную последовательность Майера--Вьеториса можно модифицировать так, чтобы использовать приведённые группы гомологий, пока $A \cap B \neq \emptyset$ , дополняя обычные сингулярные цепи посредством $S_{-1}(A \cap B) = \mathbb {Z}$ , $S_{-1}(A) \oplus S_{-1}(B) = \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ , $S_{-1}(A) + S_{-1}(B) = \mathbb {Z}$ , $S_{-1}(X) = \mathbb {Z}$ .

Покажите, что существует длинная точная последовательность с использованием приведённых групп гомологий, которая заканчивается следующим образом:

H_1(X) \xrightarrow {\delta } \bar{H}_0(A \cap B) \xrightarrow {i_0} \bar{H}_0(A) \oplus \bar{H}_0(B) \xrightarrow {j_0} \bar{H}_0(X) \to 0.

?

Задача 6.13.7

Используя приведённую последовательность Майера--Вьеториса из упражнения 6.13.6, покажите, что если $A$ и $B$ линейно связны, $A \cap B \neq \emptyset$ , $A \cup B = X$ , и выполнены предположения, дающие точную последовательность Майера--Вьеториса, то $X$ линейно связно.

?

Приведённые гомологии