Банк задач по математике

Задача 6.12.1

(a)(b)

Мы знаем, что $H_k(S^1) \simeq \mathbb {Z}$ при $k = 0, 1$ и $0$ при $k > 1$ , а также $H_0(S^n) \simeq \mathbb {Z}$ при $n \geq 1$ в силу линейной связности. Цель этого упражнения — показать по индукции, что $H_{k+1}(S^{n+1}) \simeq H_k(S^n)$ , $n \geq 1$ , $k \geq 0$ .

?

(a)

Используя разложение $S^{n+1} = A \cup B$ , где $A$ — верхняя полусфера, на которой $x_{n+2} \geq 0$ , а $B$ — нижняя полусфера, на которой $x_{n+2} \leq 0$ , и уточнённую последовательность Майера--Вьеториса (упражнение 6.7.4), покажите, что $H_{k+1}(S^{n+1}) \simeq H_k(S^n)$ , $n \geq 0$ , $k > 0$ , и $H_0(S^n) \simeq H_1(S^{n+1}) \oplus \mathbb {Z}$ .

(b)

Докажите по индукции, что

H_k(S^n) = \begin{cases} \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} & n = k = 0, \\ \mathbb {Z} & n = k > 0 \text{ или } n > 0, k = 0, \\ 0 & \text{в остальных случаях}. \end{cases}

Задача 6.12.2

Предположим, что $X$ — линейно связное топологическое пространство. Надстройка $\Sigma X$ пространства $X$ — это пространство, полученное из $X \times D^1$ отождествлением $X \times \left\{ 1\right\}$ в точку и отождествлением $X \times \left\{ -1\right\}$ в точку, с последующим использованием топологии фактор-пространства. (Рассуждение с использованием последовательности Майера--Вьеториса, применённое к сфере в упражнении 6.12.1, применимо к надстройкам в общем случае.)

Покажите, что $\Sigma S^n$ гомеоморфно $S^{n+1}$ .

?

Задача 6.12.3

(a)(b)(c)

Пусть $\Sigma X$ — надстройка линейно связного пространства $X$ (упражнение 6.12.2):

?

(a)

Покажите, что $\Sigma X$ линейно связно, и потому $H_0(\Sigma X) \simeq \mathbb {Z}$ .

(b)

Используя точную последовательность Майера--Вьеториса, покажите, что $H_{k+1}(\Sigma X) \simeq H_k(X)$ при $k > 0$ .

(c)

Покажите, что $H_1(\Sigma X) \oplus \mathbb {Z} \simeq H_0(X)$ .

Задача 6.12.4

Для $k \geq 2$ покажите, что $H_k(T_+) = H_k(T_-) = H_k(T_+ \cap T_-) = 0$ , и используйте это, чтобы показать, что $H_{k+1}(T) = 0$ при $k \geq 2$ .

?

Примечание.

?

Разобьём тор $T$ на две половины $T = T_+ \cup T_-$ , рассматривая $T$ как факторпространство $D^1 \times D^1$ : пусть $T_+$ соответствует фактору точек, первая координата которых лежит между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ , а $T_-$ — фактору точек, первая координата которых либо $\leq -\frac{1}{2}$ , либо $\geq \frac{1}{2}$ . Каждое из $T_+, T_-$ гомотопически эквивалентно окружности: $T_+$ деформационно ретрагируется на окружность с первой координатой $0$ , а $T_-$ деформационно ретрагируется на окружность с первой координатой $1$ (в терминах описания факторпространства). Пересечение $T_- \cap T_+$ есть объединение двух окружностей $C_- \cup C_+$ , где $C_-$ имеет первую координату $-\frac{1}{2}$ , а $C_+$ — первую координату $\frac{1}{2}$ .

Задача 6.12.5

Используя разложение $T = T_+ \cup T_-$ из упражнения 6.12.4 и стандартные отождествления гомологий $T_+, T_-, C_+, C_-$ с гомологиями окружностей, на которые они деформационно ретрагируются, покажите, что точную последовательность Майера--Вьеториса можно отождествить со следующей последовательностью:

\begin{array}{ccccccc} H_2(T_+) \oplus H_2(T_-) & \xrightarrow {j_2} & H_2(T) & \xrightarrow {\delta _2} & H_1(T_+ \cap T_-) & \xrightarrow {i_1} & H_1(T_+) \oplus H_1(T_-) \\ \downarrow {\simeq } & & \downarrow {=} & & \downarrow {\simeq } & & \downarrow {\simeq } \\ 0 & \xrightarrow {\delta _2} & H_2(T) & \xrightarrow {i_1} & \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} & & \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{array}

\begin{array}{ccccccccc} \xrightarrow {j_1} & H_1(T) & \xrightarrow {\delta _1} & H_0(T_+ \cap T_-) & \xrightarrow {i_0} & H_0(T_+) \oplus H_0(T_-) & \xrightarrow {j_0} & H_0(T) & \to 0 \\ & \downarrow {=} & & \downarrow {\simeq } & & \downarrow {\simeq } & & \downarrow {=} & \\ \xrightarrow {j_1} & \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} & \xrightarrow {\delta _1} & \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} & \xrightarrow {i_0} & \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} & \xrightarrow {j_0} & \mathbb {Z} & \to 0 \end{array}

?

Задача 6.12.6

(a)(b)

Пусть $i_0, i_1$ такие же, как на диаграмме из упражнения 6.12.5:

?

(a)

Покажите, что $i_0(a,b) = (a+b, -a-b)$ .

(b)

Покажите, что $i_1(a,b) = (a+b, -a-b)$ .

Задача 6.12.7

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $H_0(T) \simeq \mathbb {Z}$ .

(b)

Используя упражнение 6.5.11(a) (лемму о пяти гомоморфизмах), покажите, что существуют короткие точные последовательности

0 \to \mathrm{coker}(i_1) \to H_1(T) \xrightarrow {\delta _1} \ker (i_0) \to 0

и

0 \to H_2(T) \xrightarrow {\delta _2} \ker (i_1) \to 0.

Задача 6.12.8

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что $\ker (i_0) = \left\{ (a,-a)\right\} \simeq \mathbb {Z}$ (где $i_0$ как в упражнении 6.12.6).

(b)

Покажите, что $\mathrm{coker}(i_1) \simeq \mathbb {Z}$ .

(c)

Используя (а), (б) и упражнение 6.5.3, покажите, что $H_1(T) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ .

Задача 6.12.9

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $\ker (i_1) = \left\{ (a,-a)\right\} \simeq \mathbb {Z}$ (где $i_1$ как в упражнении 6.12.6).

(b)

Используя (а), покажите, что $H_2(T) \simeq \mathbb {Z}$ .

Задача 6.12.10

Приведите явную пару сингулярных $1$ -цепей, порождающих $H_1(T) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ (как вычислено в упражнении 6.12.8).

?

Задача 6.12.11

Приведите явную сингулярную $2$ -цепь, порождающую $H_2(T) \simeq \mathbb {Z}$ (как вычислено в упражнении 6.12.9).

?

Примечание.

?

Сначала найдите цепи в $S_2(T_+)$ и $S_2(T_-)$ , границы которых дают представитель образующей $\ker (i_1) \subset H_1(T_+ \cap T_-)$ .

Задача 6.12.12

Используя последовательность Майера--Вьеториса, покажите, что $H_k(K) = 0$ при $k > 2$ .

?

Примечание.

?

Применим идеи, использованные для тора (упражнения 6.12.4--6.12.11), чтобы вычислить гомологии бутылки Клейна $K$ , рассматриваемой как факторпространство $D^1 \times D^1$ с отождествлениями $(x,-1) \sim (x,1)$ , $(-1,y) \sim (1,-y)$ . Разложим $K = K_+ \cup K_-$ , где $K_+$ соответствует первой координате, удовлетворяющей $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ , а $K_-$ — первой координате, удовлетворяющей $-1 \leq x \leq -\frac{1}{2}$ или $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ . Каждое из $K_+, K_-$ гомеоморфно кольцу, а пересечение $K_+ \cap K_-$ гомеоморфно несвязному объединению двух окружностей.

Задача 6.12.13

(a)(b)

Пусть $i_0 : H_0(K_+ \cap K_-) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to H_0(K_+) \oplus H_0(K_-) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ , $i_1 : H_1(K_+ \cap K_-) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to H_0(K_+) \oplus H_0(K_-) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ — отображения из последовательности Майера--Вьеториса для разложения $K = K_+ \cup K_-$ из упражнения 6.12.12.

?

(a)

Покажите, что $i_0(a,b) = (a+b, -a-b)$ .

(b)

Покажите, что $i_1(a,b) = (a+b, a-b)$ . Здесь мы используем первую координату $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ для соответствия направленной вверх ориентированной $-\frac{1}{2} \times D^1/\! \sim$ , а вторую координату — для соответствия направленной вверх ориентированной $\frac{1}{2} \times D^1/\! \sim$ .

Задача 6.12.14

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $H_0(K) \simeq \mathbb {Z}$ .

(b)

Используя упражнение 6.5.11(а) (лемму о пяти гомоморфизмах), покажите, что существуют короткие точные последовательности

0 \to \mathrm{coker}(i_1) \to H_1(K) \xrightarrow {\delta _1} \ker (i_0) \to 0

и

0 \to H_2(K) \xrightarrow {\delta _2} \ker (i_1) \to 0

(где $i_0, i_1$ те же, что в упражнении 6.12.13).

Задача 6.12.15

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что $\ker (i_0) = \left\{ (a,-a)\right\} \simeq \mathbb {Z}$ (где $i_0$ то же, что в упражнении 6.12.13).

(b)

Покажите, что $\mathrm{coker}(i_1) \simeq \mathbb {Z}_2$ .

(c)

Используя (а), (б) и упражнение 6.5.3, покажите, что $H_1(K) \simeq \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}$ .

Примечание.

?

Для части (б): покажите, что $[(1,0)] = [(0,1)] = [(-1,0)]$ , откуда получается соотношение $2[(1,0)] = 0$ .

Задача 6.12.16

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $\ker (i_1) = 0$ (где $i_1$ то же, что в упражнении 6.12.13).

(b)

Используя (а), покажите, что $H_2(K) \simeq 0$ .

Задача 6.12.17

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что при обращении направления сингулярного $1$ -симплекса $\sigma$ , дающем $\bar{\sigma }(t) = \sigma (1-t)$ , выполняется $\sigma + \bar{\sigma } = \partial \tau$ для некоторой сингулярной $2$ -цепи $\tau$ . Сделайте это как с помощью прямой конструкции, так и с помощью $H_1(I) \simeq 0$ .

(b)

Приведите явную пару сингулярных $1$ -цепей, порождающих $H_1(K) \simeq \mathbb {Z}_2 \oplus \mathbb {Z}$ (как было вычислено в упражнении 6.12.15). Объясните, как возникает $2$ -кручение для одной из образующих, приведя $2$ -цепь, граница которой представляет удвоенную образующую $\mathbb {Z}_2$ .

Задача 6.12.18

(a)(b)(c)

Напомним, что (упражнение 6.8.21(а)) отображение включения границы $\partial M \simeq S^1$ листа Мёбиуса $M$ в $M$ индуцирует умножение на $2$ на первых гомологиях, $H_1(\partial M) \simeq \mathbb {Z} \xrightarrow {2} H_1(M) \simeq \mathbb {Z}$ . Если $P$ обозначает проективную плоскость, то удаление диска из $P$ с образованием $P_{(1)}$ даёт лист Мёбиуса, так что отображение $H_1(\partial P_{(1)}) \simeq \mathbb {Z} \to H_1(P_{(1)}) \simeq \mathbb {Z}$ является умножением на $2$ . Теперь рассмотрим последовательность Майера--Вьеториса, основанную на разложении $P$ в $P_{(1)} \cup D^2$ .

?

(a)

Покажите, что $H_k(P) \simeq 0$ при $k \geq 3$ .

(b)

Покажите, что $H_2(P) = 0$ , используя тот факт, что отображение $i_1 : H_1(S^1) \to H_1(P_{(1)}) \oplus H_1(D^2)$ инъективно.

(c)

Покажите, что $H_1(P) \simeq \mathbb {Z}_2$ и $H_0(P) \simeq \mathbb {Z}$ , используя последовательность Майера--Вьеториса.

Задача 6.12.19

(a)(b)(c)(d)

Компактная связная неориентируемая поверхность $N$ содержит лист Мебиуса и потому распадается в связную сумму $P$ (проективной плоскости) с некоторой другой поверхностью $Q$ : разложим $N = P_{(1)} \cup Q_{(1)}$ , где пересечение — это окружность, являющаяся общей границей этих двух частей.

?

(a)

Покажите, что $H_k(N) = 0$ при $k \geq 3$ .

(b)

Покажите, что $H_2(N) = 0$ , используя тот факт, что отображение $i_1 : H_1(S^1) \to H_1(P_{(1)}) \oplus H_1(Q_{(1)})$ инъективно.

(c)

Используя связь с фундаментальной группой, покажите, что $H_1(P^{(k)}) \simeq \mathbb {Z}_2 \oplus (k-1)\mathbb {Z}$ , где $(k-1)\mathbb {Z}$ обозначает прямую сумму $k-1$ экземпляров $\mathbb {Z}$ .

(d)

Используя линейную связность, покажите, что $H_0(P^{(k)}) \simeq \mathbb {Z}$ .

Задача 6.12.20

(a)(b)(c)

Мы видели, что для сферы и тора вторая группа гомологий изоморфна целым числам. Остальные компактные связные ориентируемые поверхности являются связными суммами копий тора; данное упражнение показывает, что их вторая группа гомологий также равна целым числам.

?

(a)

Покажите, что отображение включения $\partial T_{(1)} = S^1 \to T_{(1)}$ индуцирует нулевое отображение на $H_1$ .

(b)

Используя разложение $T = T_{(1)} \cup D^2$ , с помощью последовательности Майера--Вьеториса покажите, что $H_2(T) \simeq \mathbb {Z}$ и $H_k(T) \simeq 0$ при $k \geq 3$ .

(c)

Используя связь с фундаментальной группой, покажите, что $H_1(T) \simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ . Используя линейную связность, покажите, что $H_0(T) \simeq \mathbb {Z}$ .

Задача 6.12.21

(a)(b)(c)(d)

Для остальных ориентируемых поверхностей $T_{(1)}^{(k)}$ используйте описание $T^{(k)}$ как факторпространства $4k$ -угольника с отождествлениями (сравните с упражнением 6.12.17(а)).

?

(a)

Покажите, что $H_1(\partial T_{(1)}^{(k)}) \to H_1(T_{(1)}^{(k)})$ — нулевое отображение.

(b)

Используя последовательность Майера--Вьеториса, основанную на $T^{(k)} = T_{(1)}^{(k)} \cup D^2$ , покажите, что $H_i(T^{(k)}) \simeq 0$ , $i \geq 2$ , и $H_2(T^{(k)}) \simeq \mathbb {Z}$ .

(c)

Используя связь с фундаментальной группой, покажите, что $H_1(T^{(k)}) \simeq 2k\mathbb {Z}$ , где $2k\mathbb {Z}$ обозначает прямую сумму $2k$ экземпляров $\mathbb {Z}$ .

(d)

Используя линейную связность, покажите, что $H_0(T^{(k)}) \simeq \mathbb {Z}$ .

Примечание.

?

Для пункта (а): представьте удаляемый диск как внутренний $4k$ -угольник, а его образующую для $H_1$ — как сумму рёбер, и проследите, куда она отображается посредством стандартной деформационной ретракции на границу, которая отождествляется.

Задача 6.12.22

(a)(b)(c)

Рассмотрим $T^{(k)}$ , возникающий как факторпространство $4k$ -угольника, как в упражнении 6.12.21. Разобьём $4k$ -угольник на $4k$ треугольников с общей вершиной в центре $4k$ -угольника.

?

(a)

Найдите $2$ -цикл $\sigma$ , являющийся знаковой суммой $4k$ сингулярных симплексов, соответствующих этим треугольникам.

(b)

Пусть $\Delta$ обозначает один из треугольников. Покажите, что отображение $H_2(T^{(k)}) \to H_2(T^{(k)}, T^{(k)} \setminus \mathrm{int}\, \Delta ) \simeq H_2(\Delta , \partial \Delta ) \simeq \mathbb {Z}$ переводит $[\sigma ]$ в образующую.

(c)

Покажите, что $\sigma$ — образующая $H_2(T^{(k)}) \simeq \mathbb {Z}$ .

Приложения последовательности Майера--Вьеториса