Банк задач по математике

Задача 6.11.1

(a)(b)

Пусть $B \subset A \subset X$ .

?

(a)

Покажите, что существует короткая точная последовательность цепных комплексов

0 \to S(A)/S(B) \to S(X)/S(B) \to S(X)/S(A) \to 0.

(b)

Покажите, что существует длинная точная последовательность тройки $(X, A, B)$ , задаваемая как

\cdots \to H_{k+1}(X, A) \to H_k(A, B) \to H_k(X, B) \to H_k(X, A) \to \cdots .

Задача 6.11.2

(a)(b)

?

(a)

Используя длинную точную последовательность тройки $(X, X^p, X^{p-1})$ (упражнение 6.11.1), покажите, что $H_k(X, X^p) \simeq H_k(X, X^{p-1})$ при $k > p + 1$ .

(b)

Используя (а) и индукцию, покажите, что $H_k(X) \simeq H_k(X, X^{k-2})$ .

Задача 6.11.3

(a)(b)

?

(a)

Используя длинную точную последовательность тройки $(X^{p+1}, X^p, A)$ (упражнение 6.11.1), покажите, что $H_k(X^p, A) \simeq H_k(X^{p+1}, A)$ при $k < p$ .

(b)

Используя (а) и индукцию, покажите, что для конечной CW-пары $(X, A)$ выполняется $H_k(X, A) \simeq H_k(X^{k+1}, A)$ .

Задача 6.11.4

Объедините упражнения 6.11.2 и 6.11.3, чтобы показать, что $H_k(X) \simeq H_k(X^{k+1}, X^{k-2})$ .

?

Задача 6.11.5

По определению клеточного цепного комплекса $(C^c, \partial^c)$ (упражнение 6.10.11), $k$ -ые клеточные гомологии равны $\ker (\partial_k^c)/\mathrm{im}(\partial_{k+1}^c)$ ; по упражнению 6.11.4 это нужно отождествить с $H_k(X^{k+1}, X^{k-2})$ . Отображение $\partial_k^c$ выступает как граничное отображение в длинной точной последовательности тройки $(X^k, X^{k-1}, X^{k-2})$ .

Используя длинную точную последовательность тройки $(X^k, X^{k-1}, X^{k-2})$ , покажите, что $H_k(X^k, X^{k-2})$ изоморфно отображается на $\ker (\partial_k^c)$ как подгруппу $H_k(X^k, X^{k-1})$ .

?

Задача 6.11.6

Используя длинную точную последовательность тройки $(X^{k+1}, X^k, X^{k-2})$ , покажите, что фактор $H_k(X^k, X^{k-2})/\mathrm{im}(H_{k+1}(X^{k+1}, X^k) \to H_k(X^k, X^{k-2}))$ изоморфен $H_k(X^{k+1}, X^{k-2})$ .

?

Задача 6.11.7

Используя упражнения 6.11.5 и 6.11.6 и коммутативную диаграмму

\begin{array}{ccc} H_{k+1}(X^{k+1}, X^k) & \xrightarrow {\partial } & H_k(X^k, X^{k-2}) \\ & \searrow {\partial _{k+1}^c} & \downarrow {(j_{12})_*} \\ & & H_k(X^k, X^{k-1}) \end{array}

завершите доказательство того, что клеточные гомологии $H_k^c(X)$ (упражнение 6.10.11) изоморфны сингулярным гомологиям $H_k(X)$ .

?

Задача 6.11.8

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что существует короткая точная последовательность

0 \to Z_i \to C_i \to B_{i-1} \to 0,

где $B_i \subset C_i$ — подгруппа границ, а $Z_i \subset C_i$ — подгруппа циклов.

(b)

Если $z_i = \mathrm{rk}(Z_i)$ и $b_i = \mathrm{rk}(B_i)$ , покажите, что $c_i = z_i + b_{i-1}$ .

Примечание.

?

Пусть $(C, \partial )$ — цепной комплекс конечно порождённых свободных абелевых групп, причём $C_k = 0$ при $k > n$ для некоторого $n$ (т.е. $C$ — $n$ -мерен). Ранг $C_k$ , обозначаемый $c_k$ , — это число образующих (для клеточного цепного комплекса — число $k$ -клеток). Группы гомологий $H_i(C)$ также обращаются в нуль при $k > n$ и являются конечно порождёнными абелевыми группами вида $H_i(C) \simeq h_i \mathbb {Z} \oplus T_i$ , где $h_i \mathbb {Z}$ — свободная абелева группа, являющаяся прямой суммой $h_i$ копий $\mathbb {Z}$ (так что $h_i$ — ранг $H_i(C)$ ), а $T_i$ — группа кручения, прямая сумма конечного числа копий $\mathbb {Z}_{p_j}$ .

Определение 6.11.1: эйлерова характеристика $C$ — это $\chi (C) = \sum_{i=0}^n (-1)^i c_i$ , а эйлерова характеристика $H_*(C)$ — это $\chi (H_*(C)) = \sum_{i=0}^n (-1)^i h_i$ . Теорема 6.11.1 (цель этого и последующих упражнений): $\chi (C) = \chi (H_*(C))$ .

Отправной точкой служит алгебраический факт: всякий раз, когда имеется короткая точная последовательность конечно порождённых абелевых групп $0 \to A \to B \to C \to 0$ , выполняется равенство $\mathrm{rk}(B) = \mathrm{rk}(A) + \mathrm{rk}(C)$ .

Задача 6.11.9

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что существует короткая точная последовательность

0 \to B_i \to Z_i \to H_i(C) \to 0

(обозначения как в упражнении 6.11.8).

(b)

Покажите, что $z_i = b_i + h_i$ .

(c)

Используя (б), покажите, что $c_i = h_i + b_i + b_{i-1}$ .

Задача 6.11.10

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что $\sum_{i=0}^n (-1)^i (b_i + b_{i-1}) = 0$ (обозначения как в упражнениях 6.11.8--6.11.9).

(b)

Покажите, что $\chi (C) = \chi (H_*(C))$ (теорема 6.11.1).

Задача 6.11.11

Предположим, дана длинная точная последовательность конечно порождённых абелевых групп,

0 \to A_n \xrightarrow {a_n} A_{n-1} \xrightarrow {a_{n-1}} \cdots \xrightarrow {a_2} A_1 \xrightarrow {a_1} A_0 \to 0.

Покажите, что $\sum_{i=0}^n (-1)^i \mathrm{rk}(A_i) = 0$ .

?

Примечание.

?

Используйте индукцию по $n$ , начиная со случая $n = 2$ . При $n > 2$ перепишите точную последовательность в терминах двух точных последовательностей

0 \to A_n \xrightarrow {a_n} A_{n-1} \xrightarrow {a_{n-1}} \ker (a_{n-2}) \to 0,

0 \to \ker (a_{n-2}) \to A_{n-2} \xrightarrow {a_{n-2}} \cdots \xrightarrow {a_2} A_1 \xrightarrow {a_1} A_0 \to 0.

Задача 6.11.12

(a)(b)(c)(d)

Предположим, дано ручечное разложение поверхности $S$ (возможно, с краем) с $k_0$ $0$ -ручками, $k_1$ $1$ -ручками и $k_2$ $2$ -ручками. Пусть $h_i = \mathrm{rk}(H_i(S))$ .

?

(a)

Покажите, что если имеется единственная ручка (то есть $k_0 = 1$ , $k_1 = k_2 = 0$ ), то $h_0 = 1$ , $h_1 = h_2 = 0$ .

(b)

Покажите, что если $S = H \cup h_i$ получена из тела с ручками $H$ присоединением ещё одной ручки $h_i$ , то

H_p(S, H) = \begin{cases} \mathbb {Z} & p = i, \\ 0 & p \neq i. \end{cases}

(c)

Используя точную последовательность пары $(S, H)$ и упражнение 6.11.11, покажите, что

\chi (H_*(S)) = \chi (H_*(H)) + (-1)^i.

(d)

С помощью индукции докажите, что $k_0 - k_1 + k_2 = h_0 - h_1 + h_2$ .

Задача 6.11.13

Используя технику упражнения 6.11.12, докажите напрямую, что если $X$ — конечный CW-комплекс размерности $n$ , а $c_i$ — число $i$ -клеток, то $\chi^c(X) = \sum_{i=0}^n (-1)^i c_i = \sum_{i=0}^n (-1)^i h_i = \chi (H(X))$ .

?

Клеточные гомологии, сингулярные гомологии и эйлерова характеристика