Банк задач по математике

Задача 6.10.1

(a)(b)

?

(a)

Покажите, что включение $(D^k, S^{k-1}) \to (D^k, L^{k-1})$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.

(b)

Покажите, что включение $(X^k, X^{k-1}) \to (X^k, K^{k-1})$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.

Примечание.

?

Для пункта (а): покажите, что существует гомотопическая эквивалентность пар. Для пункта (б): используйте аналогичное рассуждение.

Постановка: $X^k$ обозначает $k$ -остов пространства $X$ , объединение клеток размерности $\leq k$ . $k$ -клетка $e_j^k$ представляет собой единичный диск (с точностью до гомеоморфизма), приклеенный к $X^{k-1}$ посредством приклеивающего отображения $f_j : S^{k-1} \to X^{k-1}$ . Расширим $X^{k-1}$ до большего множества $K^{k-1}$ в $X^k$ , приклеивая $L^{k-1} = D^k \setminus (\mathrm{int}\, \frac{1}{2} D^k)$ посредством $f_j$ для каждой $k$ -клетки. Для каждой $k$ -клетки имеется соответствующая пара $(D_j^k, L_j^{k-1})$ ; запишем $(D^k, L^{k-1}) = (\bigsqcup_{j=1}^{c_k} D_j^k, \bigsqcup_{j=1}^{c_k} L_j^{k-1})$ и $(D^k, S^{k-1}) = (\bigsqcup_{j=1}^{c_k} D_j^k, \bigsqcup_{j=1}^{c_k} S_j^{k-1})$ для соответствующих дизъюнктных объединений.

Задача 6.10.2

(a)(b)(c)

?

(a)

Покажите, что если $(Y, B) = (\bigsqcup_{j=1}^N Y_j, \bigsqcup_{j=1}^N B_j)$ — дизъюнктное объединение линейно связных компонент $(Y_j, B_j)$ , то $H_p(Y, B) = \bigoplus_{j=1}^N H_p(Y_j, B_j)$ .

(b)

Покажите, что $H_k(D^k, S^{k-1}) \simeq \bigoplus_{j=1}^{c_k} \mathbb {Z}$ (обозначения как в задаче 6.10.1). Обозначим через $g_j^k$ образующую, соответствующую образующей группы $H_k(D_j^k, S_j^{k-1})$ .

(c)

Покажите, что включение $H_p(D^k, S^{k-1}) \to H_p(D^k, L^{k-1})$ индуцирует изоморфизм в гомологиях. Сделайте вывод, что

H_p(D^k, L^{k-1}) = \bigoplus _{j=1}^{c_k} H_p(D_j^k, L_j^{k-1}) \simeq \bigoplus _{j=1}^{c_k} \mathbb {Z}.

Задача 6.10.3

Покажите, что ограничение характеристических отображений на $k$ -клетки (обозначения как в задаче 6.10.1) даёт гомеоморфизм пар $(D^k \setminus \mathrm{int}\, L^{k-1}, L^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, L^{k-1}) \to (X^k \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}, K^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1})$ . Сделайте вывод о существовании изоморфизма в гомологиях.

?

Задача 6.10.4

Покажите, что существует коммутативная диаграмма, все отображения которой являются изоморфизмами,

\begin{array}{ccc} H_p(D^k, S^{k-1}) & \xrightarrow {\phi _*} & H_p(X^k, X^{k-1}) \\ \downarrow {(i_L)_*} & & \downarrow {(i_K)_*} \\ H_p(D^k, L^{k-1}) & \xrightarrow {(\phi _L)_*} & H_p(X^k, K^{k-1}) \\ \uparrow {(j_L)_*} & & \uparrow {(j_K)_*} \\ H_p(D^k \setminus \mathrm{int}\, L^{k-1}, L^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, L^{k-1}) & \xrightarrow {(\phi _{-L})_*} & H_p(X^k \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}, K^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}) \end{array}

где $\phi = \sqcup \phi_j$ — дизъюнктное объединение характеристических отображений $k$ -клеток (ограничивающихся до приклеивающих отображений на граничных сферах), остальные горизонтальные отображения индуцированы ограничениями этого отображения, а вертикальные отображения являются включениями. Используйте задачи 6.10.1--6.10.3, чтобы обосновать, почему каждое отображение является изоморфизмом.

?

Задача 6.10.5

Покажите, что при $k > 0$ выполняется $H_k(\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k, *) \simeq \bigoplus_{j=1}^{c_k} H_k(S_j^k, *)$ .

?

Примечание.

?

Объединяя результаты задач 6.10.3 и 6.10.4, получаем, что характеристические отображения индуцируют изоморфизм $\bigoplus_{j=1}^{c_k} H_p(D_j^k, S_j^{k-1}) \to H_p(X^k, X^{k-1})$ ; в частности, все слагаемые равны $0$ , кроме случая $p = k$ , а при $p = k$ образующая $g_j^k$ группы $H_p(D_j^k, S_j^{k-1})$ переходит в образующую $x_j^k$ группы $H_k(X^k, X^{k-1})$ , которая, таким образом, является свободной абелевой группой с образующими $x_1^k, \ldots , x_{c_k}^k$ .

При $k > 0$ фактор-пространство $D^k/S^{k-1}$ гомеоморфно $S^k$ . Если начать с дизъюнктного объединения $(D^k, S^{k-1})$ и образовать фактор $D^k/S^{k-1}$ , получится пространство, составленное из $c_k$ копий $S^k$ , у которых все базовые точки (возникающие из стягивания слагаемых $S_j^{k-1}$ в точку) отождествлены в единую базовую точку $*$ ; таким образом, фактор-пространство есть $\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k$ . Отображение $\phi$ (из задачи 6.10.4) индуцирует гомеоморфизм $\bar{\phi }$ между $X^k/X^{k-1}$ и этим букетом, что даёт изоморфизм $H_p(\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k, *) \simeq H_p(X^k/X^{k-1}, *)$ .

Указание к этой задаче: используйте индуктивное рассуждение с последовательностью Майера--Вьеториса.

Задача 6.10.6

Любой элемент $y$ прямой суммы $\bigoplus_{j=1}^{c_k} H_k(S_j^k, *)$ из задачи 6.10.5 выражается как $\sum_{j=1}^{c_k} n_j y_j$ , где $y_j$ — выбранная образующая группы $H_k(S_j^k, *)$ . Пусть $A_j$ обозначает сферы, отличные от $j$ -й, в $\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k$ ; фактор $\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k / A_j$ гомеоморфен $S_j^k$ , и при фактор-отображении $P_j$ , стягивающем $A_j$ , $y$ переходит в $n_j y_j$ . Это использует тот факт, что композиция $S_j^k \to \bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k \to \bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k/A_j = S_j^k$ является тождественной, а композиция $S_p^k \to \bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k \to \bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k/A_j = S_j^k$ отображает $S_p^k$ в базовую точку $*$ , когда $p \neq j$ .

Проверьте, что отображение $S_p^k \to S_j^k$ , $p \neq j$ , переводящее всю сферу в базовую точку, индуцирует нулевое отображение в гомологиях в размерности $k > 0$ (это тот факт, который используется выше, чтобы заключить, что тождественное отображение индуцирует тождественное отображение, а постоянное отображение индуцирует нулевое отображение, что даёт алгебраическое описание $P_j$ ).

?

Задача 6.10.7

Пусть $A_j \subset D^k$ , $B_j \subset X^k$ обозначают подкомплексы, состоящие из всего, кроме $j$ -й $k$ -клетки (обозначения как в задаче 6.10.1). Можно образовать фактор-пространства $D^k/A_j$ , $X^k/B_j$ , стягивая $A_j$ и $B_j$ в точку. Покажите, что характеристическое отображение $D_j^k \to D^k \to X^k$ индуцирует гомеоморфизмы между фактор-пространствами $D_j^k/S_j^{k-1} \to D^k/A_j \to X^k/B_j$ .

?

Задача 6.10.8

Каждая сфера $S_j^k$ (как в задаче 6.10.5) имеет замкнутую окрестность $\bar{L}_j^{k-1}$ базовой точки $*$ , возникающую как образ $L_j^{k-1}$ при стягивающем отображении. Объединение всех таких окрестностей в $\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k$ даёт замкнутую окрестность $\bar{L}^{k-1}$ точки $*$ . Аналогично, $K^{k-1}$ (как в задаче 6.10.1) задаёт замкнутую окрестность $\bar{K}^{k-1}$ базовой точки $* \in X^k/X^{k-1}$ ; гомеоморфизм $\bar{\phi }$ (задача 6.10.5) переводит $\bar{L}^{k-1}$ в $\bar{K}^{k-1}$ .

Покажите, что $(D^k/S^{k-1}, \bar{L}^{k-1})$ гомотопически эквивалентна $(D^k/S^{k-1}, *)$ , а $(X^k/X^{k-1}, \bar{K}^{k-1})$ — $(X^k/X^{k-1}, *)$ .

?

Задача 6.10.9

Покажите, что ограничение фактор-отображения задаёт гомеоморфизм

(X^k \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}, K^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}) \to (X^k/X^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, \bar{K}^{k-1}, \bar{K}^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, \bar{K}^{k-1}).

(обозначения как в задаче 6.10.8).

?

Задача 6.10.10

(a)(b)(c)

?

(a)

Предположим, что $k > 0$ . Покажите, что существует коммутативная диаграмма, в которой все отображения являются изоморфизмами, горизонтальные отображения индуцированы включениями, а вертикальные отображения индуцированы фактор-отображениями,

\begin{array}{ccccc} H_k(X^k, X^{k-1}) & \to & H_k(X^k, K^{k-1}) & \leftarrow & H_k(X^k \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}, K^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, K^{k-1}) \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ H_k(X^k/X^{k-1}, *) & \to & H_k(X^k/X^{k-1}, \bar{K}^{k-1}) & \leftarrow & H_k(X^k/X^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, \bar{K}^{k-1}, \bar{K}^{k-1} \setminus \mathrm{int}\, \bar{K}^{k-1}) \end{array}

(b)

Выведите аналогичный результат для $(D^k, S^{k-1})$ вместо $(X^k, X^{k-1})$ .

(c)

Покажите, что существует коммутативная диаграмма, в которой все отображения являются изоморфизмами,

\begin{array}{ccc} H_k(D^k, S^{k-1}) & \to & H_k(X^k, X^{k-1}) \\ \downarrow & & \downarrow \\ H_k(D^k/S^{k-1}, *) & \to & H_k(X^k/X^{k-1}, *) \\ & \searrow & \downarrow \\ & & H_k(\bigvee _{j=1}^{c_k} S_j^k, *) \end{array}

Задача 6.10.11

Определим образующую $y_j^k$ группы $H_k(\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k, *)$ , происходящую из образа образующей $g_j^k \in H_k(D^k, S^{k-1})$ (используя коммутативную диаграмму из упражнения 6.10.10(в), это образ $x_j^k$ при вертикальных отображениях справа). Если $P_j$ схлопывает все сферы букета $\bigvee_{j=1}^{c_k} S_j^k$ , кроме $j$ -й, то $(P_j)_*(y_j^k) = y_j^k$ и $(P_m)_*(y_j^k) = 0$ при $m \neq j$ , согласно упражнению 6.10.6.

Определим клеточные цепные группы $C_k^c(X) = H_k(X^k, X^{k-1})$ , $k \geq 0$ , где $X^{-1} = \emptyset$ , так что $C_0^c(X) = H_0(X^0)$ ; это свободная абелева группа с образующими $x_j^k$ , по одной на каждую $k$ -клетку. Определим граничный гомоморфизм $\partial_k^c$ как композицию

H_k(X^k, X^{k-1}) \xrightarrow {\partial } H_{k-1}(X^{k-1}) \xrightarrow {j_*} H_{k-1}(X^{k-1}, X^{k-2}).

(При $k = 1$ это просто $\partial_1^c = \partial : H_1(X^1, X^0) \to H_0(X^0)$ ; как обычно, $\partial_0^c = 0$ .)

Покажите, что $\partial_k^c \partial_{k+1}^c = 0$ .

?

Примечание.

?

Используйте точность длинной точной последовательности пары $(X^k, X^{k-1})$ .

Задача 6.10.12

Для $S^2 \times S^2$ имеются клетки в размерностях $0, 2, 4$ , и клеточный цепной комплекс имеет вид $0 \to \mathbb {Z} \to 0 \to \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \to 0 \to \mathbb {Z}$ в низких размерностях $0$ -- $5$ . Поскольку все граничные отображения равны $0$ , группы гомологий совпадают с цепными группами, что даёт

H_k^c(S^2 \times S^2) \simeq \begin{cases} \mathbb {Z} & k = 0, 4, \\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} & k = 2, \\ 0 & \text{в остальных случаях}. \end{cases}

Покажите с помощью аналогичного вычисления с клеточным цепным комплексом $\mathbb {CP}^n$ , что

H_k^c(\mathbb {CP}^n) = \begin{cases} \mathbb {Z} & 0 \leq k \leq 2n, \, k \text{ чётно}, \\ 0 & \text{в остальных случаях}. \end{cases}

?

Задача 6.10.13

Вычислите клеточные гомологии $S^1 \times S^2$ , используя клеточный цепной комплекс $(C^c_k(X), \partial_k^c)$ из упражнения 6.10.11.

?

Примечание.

?

Разобранная модель (клеточные гомологии $S^1 \times \mathbb {RP}^2$ ): цепной комплекс имеет вид $C_3^c = \mathbb {Z}(x^3) \to C_2^c = \mathbb {Z}(x_1^2) \oplus \mathbb {Z}(x_2^2) \to C_1^c = \mathbb {Z}(x_1^1) \oplus \mathbb {Z}(x_2^1) \to C_0^c = \mathbb {Z} \to 0$ , где $x_1^1$ — образующая, отвечающая $1$ -клетке, образующей окружность $S^1 \times y$ , $x_2^1$ — образующая, отвечающая $1$ -клетке, образующей окружность $x \times S^1 \subset \mathbb {RP}^2$ , $x_1^2$ — образующая, отвечающая $2$ -клетке, образующей тор, $x_2^2$ — образующая, отвечающая $2$ -клетке, используемой при образовании $x \times \mathbb {RP}^2$ , а $x^3$ — образующая для $3$ -клетки. Здесь $\partial_1^c = 0$ , и по методам для двумерных комплексов $\partial_2^c(x_1^2) = 0$ , $\partial_2^c(x_2^2) = 2x_2^1$ . Чтобы вычислить $\partial_3^c$ , рассмотрим отображение приклейки $3$ -клетки, $f : S^2 \to X^2$ ; записывая $S^2 = \partial (D^1 \times D^2) = S^0 \times D^2 \cup D^1 \times S^1$ , это отображение переводит каждую копию $\left\{ \pm 1\right\} \times D^2$ посредством характеристического отображения $2$ -клетки в $\mathbb {RP}^2$ , а $D^1 \times S^1$ переводит посредством характеристического отображения первой окружности, умноженного на отображение приклейки $2$ -клетки в $\mathbb {RP}^2$ (отображение степени $2$ ). Обе копии $D^2$ отображаются одинаково, но наследуют разные ориентации в $S^2$ , поэтому их вклад в $\partial_3(x^3)$ равен $0$ (эквивалентно, они имеют противоположные локальные степени в двух точках прообраза точки); $D^1 \times S^1$ отображается отображением степени $2$ на тор, что даёт $\partial_3^c(x^3) = 2x_1^2$ . Таким образом, $\ker (\partial_3) = 0$ , так что $H_3^c(S^1 \times \mathbb {RP}^2) = 0$ ; $\ker (\partial_2^c)$ порождено $x_1^2$ , а $\mathrm{im}(\partial_3)$ порождено $2x_1^2$ , так что $H_2(S^1 \times \mathbb {RP}^2) \simeq \mathbb {Z}_2$ ; $\mathrm{im}(\partial_2^c)$ порождено $2x_2^1$ , так что $H_1(S^1 \times \mathbb {RP}^2) = \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}_2$ ; и $H_0(S^1 \times \mathbb {RP}^2) = \mathbb {Z}$ , все остальные группы гомологий обращаются в нуль.

Задача 6.10.14

Вычислите клеточные гомологии $\mathbb {RP}^2 \times \mathbb {RP}^2$ , используя клеточный цепной комплекс $(C^c_k(X), \partial_k^c)$ из упражнения 6.10.11.

?

Задача 6.10.15

Вычислите клеточные гомологии $\mathbb {RP}^n$ , используя клеточный цепной комплекс $(C^c_k(X), \partial_k^c)$ из упражнения 6.10.11.

?

Примечание.

?

Модельный пример (клеточные гомологии $\mathbb {RP}^3$ и $\mathbb {RP}^4$ ): клеточный цепной комплекс $\mathbb {RP}^3$ имеет вид $0 \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to 0$ . $2$ -остов — это $\mathbb {RP}^2$ , для которого $\partial_2^c(x^2) = 2x^1$ , $\partial_1^c(x^1) = 0$ ; поскольку $\mathrm{im}(\partial_3^c) \subset \ker (\partial_2^c) = 0$ , должно быть $\partial_3^c = 0$ , что даёт

H_k^c(\mathbb {RP}^3) = \begin{cases} \mathbb {Z} & k = 0, 3, \\ \mathbb {Z}_2 & k = 1, \\ 0 & \text{иначе}. \end{cases}

Это можно увидеть и иначе, используя тот факт (упражнение 6.9.15), что степень отображения $S^2 \to \mathbb {RP}^2 \to \mathbb {RP}^2/S^1 = S^2$ равна $1 + (-1)^3 = 0$ . Для проективных пространств более высокой размерности одна лишь алгебра уже не определяет верхнее граничное отображение, но упражнение 6.9.15 по-прежнему применимо: приклеивающее отображение $4$ -клетки $\mathbb {RP}^4$ — это стандартное двулистное накрытие $S^3 \to \mathbb {RP}^3$ , скомпонованное со стягиванием $\mathbb {RP}^2 \subset \mathbb {RP}^3$ в точку, чтобы получить $S^3$ ; каждая полусфера накрывает $3$ -сферу ровно один раз, и два отображения полусфер связаны соотношением $f(-x) = f(x)$ , т.е. $f = fA$ , где $A(x) = -x$ . Поскольку $A : S^3 \to S^3$ имеет степень $1$ , локальная степень одинакова в обеих точках прообраза точки, так что образующая $S^3$ переходит в удвоенную образующую, что даёт $\partial^c(x^4) = \pm 2x^3$ . Следовательно, $H_4(\mathbb {RP}^4) = 0$ , $H_3(\mathbb {RP}^4) = \mathbb {Z}_2$ , и поскольку $3$ -остов $\mathbb {RP}^4$ совпадает с $\mathbb {RP}^3$ , гомологии в меньших размерностях тоже совпадают, что даёт

H_k(\mathbb {RP}^4) = \begin{cases} \mathbb {Z} & k = 0, \\ \mathbb {Z}_2 & k = 1, 3, \\ 0 & \text{иначе}. \end{cases}

Клеточные гомологии CW-комплекса