Цепные комплексы и гомологии

Пусть

и $\partial_0 = \partial_1 = 0$, $\partial_2(1) = p > 0$. Покажите, что

Пусть $C_i = 0$, $i > 2$; $C_2 = \mathbb {Z}$; $C_1 = \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$; $C_0 = \mathbb {Z}$; и $\partial_0 = \partial_1 = 0$, $\partial_2(1) = (2, 0)$. Покажите, что

Пусть $C_i = 0$, $i > 2$; $C_i = \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$, $0 \leq i \leq 2$, и $\partial_0 = 0$, $\partial_1(1, 0) = (-1, 1)$, $\partial_1(0, 1) = (1, -1)$, $\partial_2(1, 0) = (1, 1) = \partial_2(0, 1)$. Покажите, что

Пусть $C_i = 0$, $i > 3$; $C_i = \mathbb {Z}$, $0 \leq i \leq 3$; и $\partial_i = 0$, $i = 0, 1, 3$; $\partial_2(1) = p$. Покажите, что

Пусть $n \geq 1$ и $C_i = 0$, $i > n$; $C_i = \mathbb {Z}$, $0 \leq i \leq n$; и $\partial_i = 0$, $0 < i \leq n$, $i = 2k+1$ или $i = 0$; и $\partial_i(1) = 2$, $0 < i \leq n$, $i = 2k$.