Модули

Используя общие результаты о модулях над $\mathbb {C}{}[X]$, наметить схему доказательства теоремы о ЖНФ (см. [ВА II]).

Используя общие результаты о модулях над $\mathbb {Z}$, наметить схему доказательства теоремы о конечно порождённых абелевых группах.

Пусть $A=P\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ — кольцо многочленов от $n$ переменных над полем $P$. Последовательность $(f_{1}, \ldots , f_{r})$ из $r$ многочленов $f_{i} \in A$ называется унимодулярной, если $A f_{1}+A f_{2}+\ldots +A f_{r}=A$, т.е.

для некоторых $u_{i} \in A, 1 \leqslant i \leqslant r$.

Пусть, далее, $V$ — модуль конечного типа над $A$. В связи с некоторыми тонкими вопросами из алгебраической геометрии французский математик Ж.-П. Серр (1955г.) выдвинул гипотезу

которой была придана следующая изящная форма: всякое соотношение (*) можно записать в виде равенства

при подходящих $u_{i j} \in A$. Это утверждение, несмотря на свою кажущуюся простоту, было доказано лишь в 1976 г. независимо А.А. Суслиным (Россия) и Д. Квилленом (США). Попробуйте это реализовать при небольших $n$ и $r$.

Основная идея — изучить действие группы $\mathrm{GL}\left(r, A\left[X_{1}, \ldots , X_{n-1}\right]\right)$ на множестве унимодулярных последовательностей и использовать индукцию по $n$. С доказательством можно познакомиться по оригинальной статье: Суслин А.А.// ДАН СССР. - 1976. - Т. 229, № 5. - С. 1063-1066; или по докладу на семинаре Н. Бурбаки: Ferrand D.// Sém. N. Bourbaki, 28 ème annee, 1975/76, Juin 1976. Изложение вполне элементарное. Какой ценой оно достигнуто, можно судить по более раннему докладу на семинаре Н. Бурбаки: Bass H.// Sém. N. Bourbaki, 26 ème annee, 1973/74, Juin 1974. В указанной литературе содержатся постановки нерешённых задач. Весь круг вопросов очень хорош для обсуждения на спецсеминаре.