Отдельные результаты о кольцах

Доказать, что ненулевой элемент $p$ факториального кольца $K$ является простым тогда и только тогда, когда $K / p K$ — целостное кольцо.

Доказать, что если целостное кольцо $K$ не является полем, то $K[X]$ не является кольцом главных идеалов.

Показать, что элементы $x+y \sqrt{-3}$, где $x, y \in \mathbb {Z}$ или же $x=(2 k+1) / 2$, $y=(2 l+1) / 2, k, l \in \mathbb {Z}$, составляют целостное кольцо $K$. Проверить, что оно евклидово с функцией $\delta =N$ (норма в $\mathbb {Q}(\sqrt{-3})$). Показать, что подкольцо $\mathbb {Z}{}[\sqrt{-3}] \subset K$ не является даже факториальным.

Найти все простые элементы кольца целых гауссовых чисел.

Усовершенствовать следствие теоремы 6 в случае факториального кольца $K$, для чего, наряду с попарно взаимно простыми элементами $a_{1}, \ldots , a_{n}$, ввести элементы $\tilde{a}_{i}=\prod_{j \neq i} a_{j}$. Найти $b_{i} \in K$, для которых

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{n} \in K$. Ввести элемент $x=\sum b_{i} x_{i}$ и проверить, что $x \equiv x_{i}\left(\bmod a_{i}\right), 1 \leqslant i \leqslant n$ (удобство, ощутимое в тех случаях, когда имеют дело с большим числом наборов $x_{1}, \ldots , x_{n}$).

Применить предыдущее упражнение к модулям $a_{1}=5, a_{2}=9$ и к парам $\left(x_{1}, x_{2}\right)=(2,5),(3,2),(3,5)$. Что можно сказать о порядке $x$ по модулю 45?

Пусть $p$ — нечётное простое число. Если сравнение $x^{2} \equiv a(\bmod p)$ имеет решение, то целое число $a$ называется квадратичным вычетом по модулю $p$, в противном случае — квадратичным невычетом. Символ Лежандра $\left(\frac{a}{p}\right)$ определяется соотношением

Показать, что $\left(\frac{a}{p}\right)=1 \Longleftrightarrow a+p \mathbb {Z} \in \left(Z_{p}^{*}\right)^{2}$ и $\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\bmod p)$. Далее, $\left(\frac{a b}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)$ и число квадратичных вычетов в приведённой системе $1,2, \ldots , p$ - 1 совпадает с числом невычетов. Проверить для небольших нечётных простых чисел $p$ и $q$ выполнение квадратичного закона взаимности

доказанного в общем случае (многими способами) Гауссом. Извлечь из теоремы 1 соотношение $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}$.

Доказать (в обозначениях предыдущего упражнения), что $\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^{2}-1}{8}}$, т.е. 2 является квадратом по $\bmod p$ в точности тогда, когда $p \equiv \pm 1(\bmod 8)$.

(Дополнение к [ВА I, гл. 3, § 4]). Пусть $f(X)=f\left(\ldots , x_{i j}, \ldots \right)$ — ненулевой многочлен от $n^{2}$ независимых переменных $x_{i j} \in K, 1 \leqslant i, j \leqslant n$, с коэффициентами в $\mathbb {Z}$ или в некотором поле, рассматриваемый как функция матрицы $X=\left(x_{i j}\right)$. Доказать, что если $f(X Y)=f(X) f(Y)$ для всех $X, Y \in M_{n}(K)$, то $f(X)=(\operatorname {det} X)^{m}$, где $m$ — некоторое неотрицательное целое число. В частности, $f(X)=\operatorname {det} X$, коль скоро $f(\operatorname {diag}(x, 1, \ldots , 1))=x$.