Тензорное произведение представлений

При помощи формулы (6) и таблиц из п. 1 § 2, п. 2 § 5, п. 4 § проверить, что справедливы разложения

для тензорного квадрата двумерного представления $\Phi^{(3)}$ симметрической группы $S_{3}$ и

для тензорного квадрата двумерного представления $\Phi^{(5)}$ группы кватернионов $Q_{8}$.

Представления прямого произведения групп. Пусть имеются две группы $G, H$ с линейными представлениями $(\Phi , V),(\Psi , W)$. Тогда, полагая

где $g \cdot h$ — элемент прямого произведения $G \times H$ групп $G, H$, мы заставим $G \times H$ действовать на тензорном произведении $V \otimes \mathbb {C} W$; как обычно,

Проверить, что так определённое отображение

является представлением группы $G \times H$ с характером $\chi_{\Phi \otimes \Psi }=\chi_{\Phi } \chi_{\Psi }$. Доказать следующее утверждение. Пусть $\Phi^{(1)}, \ldots , \Phi^{(r)}$ (соответственно $\Psi^{(1)}, \ldots , \Psi^{(s)}$) все неприводимые представления группы $G$ (соответственно $H$). Тогда представления $\Phi^{(i)} \otimes \Psi^{(j)}$ группы $G \times H$ неприводимы, и все неприводимые представления группы $G \times H$ исчерпываются представлениями

Формы $x y, x^{n}+y^{n}$ являются инвариантами двумерной линейной группы диэдра

(см. упр. 9 из § 5). Показать, что любой другой (целый) инвариант группы $\left(D_{n}, \Phi \right)$ имеет вид многочлена от $x y, x^{n}+y^{n}$.

Проверить, что группа кватернионов, рассматриваемая в своём двумерном неприводимом представлении, не обладает квадратичными и кубическими инвариантами. Что можно сказать о формах $x^{2} y^{2}, x^{4}+y^{4}$?