Характеры линейных представлений

Пусть $\Phi , \Psi$ — неприводимые комплексные представления конечной группы $G$. Получить обобщение теоремы 2

Здесь $h$ — произвольный элемент группы $G ; \delta_{\Phi , \Psi }=1$ или $\delta_{\Phi , \Psi }=0$ в зависимости от эквивалентности или неэквивалентности $\Phi$ и $\Psi$.

Применить критерий неприводимости, основанный на характерах, к представлению $\Phi^{(3)}$ группы $S_{3}$ из примера 1 п. $1 \S 2$.

Доказать при помощи леммы Шура, что все неприводимые представления над $\mathbb {C}$ абелевой группы $G$ одномерны.

Если группа $G$ обладает автоморфизмом $\tau$, то с каждым линейным представлением $(\Phi , V)$ этой группы ассоциируется ещё одно представление $\left(\Phi^{\tau }, V\right)$, определённое по правилу $\Phi^{\tau }(g)=\Phi (\tau (g))$. Проверить, что это действительно так, и показать, что неприводимость $\Phi$ влечёт неприводимость $\Phi^{\tau }$. Как правило, $\Phi^{\tau } \approx \Phi$, но бывают случаи, когда получается новое представление. Что следует ожидать в случае внутреннего автоморфизма?

Пусть $G=A_{5}$ и $\Phi$ — представление, рассмотренное в примере 2. Отображение $\tau : \pi \mapsto (12) \pi (12)^{-1}$ является (внешним) автоморфизмом группы $A_{5}$, переставляющим классы с представителями (12345) и (12354). Множества значений характеров $\chi$ и $\chi^{\tau }$ получаются друг из друга перестановкой местами $(1+\sqrt{5}) / 2$ и $(1-\sqrt{5}) / 2$. Показать, что характеры $\chi^{\tau }$ и $\chi$ неэквивалентны.

Пусть $\Phi : G \longrightarrow U(n), \Psi : G \longrightarrow \mathrm{U}(n)$ — эквивалентные унитарные неприводимые представления конечной группы $G$. Доказать, что найдётся унитарная матрица $C$, для которой $C \Phi_{g} C^{-1}=\Psi_{g} \quad \forall g \in G$.

Доказать, что центр $Z(G)$ конечной группы $G$, обладающей точным неприводимым представлением над $\mathbb {C}$, всегда тривиальный или циклический.

Пусть $g \mapsto \Phi_{g}, g \mapsto \Psi_{g}$ — два матричных комплексных представления конечной группы $G$. Предположим, что для каждого $g \in G$ найдётся невырожденная матрица $C_{g}$ такая, что $C_{g} \Phi_{g} C_{g}^{-1}=\Psi_{g}$. Доказать, что существует невырожденная матрица $C$, не зависящая от $g$, для которой $C \Phi_{g} C^{-1}=\Psi_{g}$.