Унитарность и приводимость

Всякое одномерное непрерывное представление группы $(\mathbb {R},+$) (когда близким числам соответствуют близкие операторы) имеет вид $\Phi^{(\alpha )}: t \mapsto e^{i \alpha t}$, где $\alpha$ — комплексное число. Показать, что $\Phi^{(\alpha )}$ унитарно тогда и только тогда, когда $\alpha \in \mathbb {R}$.

Ядро гомоморфизма $f: t \mapsto \left\Vert \begin{smallmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\right\Vert$ группы $(\mathbb {R},+)$ на $\operatorname {SO}(2)$ состоит из чисел $t=2 \pi m, m \in \mathbb {Z}$. Таким образом, $\mathrm{SO}(2) \cong \mathbb {R} /(2 \pi \mathbb {Z})$, и каждому неприводимому унитарному представлению $\Phi$ (согласно результатам § 4 оно обязательно одномерно) группы $\mathrm{SO}(2)$ отвечает неприводимое унитарное представление

группы $\mathbb {R}$, для которого $\widetilde{\Phi }(2 \pi )=\Phi (0)=1$. Вывести из упр. 1, что $\widetilde{\Phi }=\Phi^{(n)}$, $n \in \mathbb {Z}$. В сочетании с замечанием 3) в п. 1 это означает, что всякое неприводимое представление группы $\mathrm{SO}(2)$ имеет вид $\Phi^{(n)}(t)=e^{i n t}, n \in \mathbb {Z}$. Проверить, что

(сравнить с соотношением в упр. 3 из § 1: порядок $n$ заменён "объёмом" $2 \pi$ группы $\mathrm{SO}(2)$). В анализе система функций $\left\{ e^{\text{int }}\right\}$ служит классическим примером полной ортонормированной системы периодических функций (или функций на окружности $S^{1} \sim \mathrm{SO}(2)$; см., в частности, [ВА II]). С этого начинается обширная теория рядов Фурье.

При помощи теоремы Машке доказать, что любое точное комплексное двумерное представление неабелевой конечной группы неприводимо.