§ III.3.1

Определения и примеры линейных представлений

[5/20%]
Показать
LaTeX
Задача III.3.1.1

Группа SO(2)\mathrm{SO}(2) задаётся своим естественным двумерным представлением

Φ′(θ)=∥cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ∥ \Phi ^{\prime }(\theta )=\left\Vert \begin{smallmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{smallmatrix}\right\Vert

неприводимым над R\mathbb {R}. Проверить, что

AΦ′(θ)A−1=∥eiθ00e−iθ∥ для A=12∥1ii1∥∈GL⁡(2,C). A \Phi ^{\prime }(\theta ) A^{-1}=\left\Vert \begin{smallmatrix} e^{i \theta } & 0 \\ 0 & e^{-i \theta } \end{smallmatrix}\right\Vert \quad \text{ для } A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\Vert \begin{smallmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{smallmatrix}\right\Vert \in \operatorname {GL}(2, \mathbb {C}).

Значит, Φ′\Phi^{\prime } — прямая сумма двух неэквивалентных (в данном случае просто различных) одномерных представлений.

?
Задача III.3.1.2

Неприводимо ли при n=2n=2 и n=3GL(n,C)n=3 \quad \mathrm{GL}(n, \mathbb {C})-пространство Mn0(C)M_{n}^{0}(\mathbb {C}) в разложении (5)?

?
Задача III.3.1.3

Пусть Φ\Phi и Ψ\Psi — неприводимые комплексные представления циклической группы ⟨a∣an=e⟩\left\langle a \mid a^{n}=e\right\rangle порядка nn. Показать, что

1n∑k=0n−1Φ(ak)Ψ(ak)‾={1, если Φ≈Ψ0, если Φ≉Ψ \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} \Phi \left(a^{k}\right) \overline{\Psi \left(a^{k}\right)}= \begin{cases} 1, \text{ если } \Phi \approx \Psi \\ 0, \text{ если } \Phi \not\approx \Psi \end{cases}
?
Задача III.3.1.4

Опираясь на упр. 3, убедиться в справедливости следующего утверждения. Любую комплекснозначную функцию ff на конечной циклической группе ⟨a∣an=e⟩\langle a| a^{n}=e\rangle можно записать в виде разложения "по элементарным гармоникам"

f(ak)=∑m=0n−1cmεmk,ε=exp⁡(2πin) f\left(a^{k}\right)=\sum _{m=0}^{n-1} c_{m} \varepsilon ^{m k}, \quad \varepsilon =\exp \left(\frac{2 \pi i}{n}\right)

"Коэффициенты Фурье" cmc_{m} вычисляются по формуле

cm=1n∑k=0n−1f(ak)ε−mk c_{m}=\frac{1}{n} \sum _{k=0}^{n-1} f\left(a^{k}\right) \varepsilon ^{-m k}
?
Задача III.3.1.5

Из формулы для числа ожерелий (см. начало главы) вывести элементарные следствия:

?
(а)

qp−q≡0( mod p)(q^{p}-q \equiv 0(\bmod p)( малая теорема Ферма, см. § 4 гл. 4);

(б)

∑d∣nφ(d)=n\sum_{d \mid n} \varphi (d)=n.