Действие групп на множествах

Пусть $\Phi$ и $\Phi^{\prime }$ — гомоморфизмы группы $G$ в $S(\Omega )$ и $S\left(\Omega^{\prime }\right)$ соответственно. Тогда определённые ими действия на $\Omega$ и на $\Omega^{\prime }$ называются эквивалентными, если существует биективное отображение $\sigma : \Omega \longrightarrow \Omega^{\prime }$, делающее диаграмму

коммутативной при всех $g \in G$. Таким образом, $\Phi_{g}^{\prime }=\sigma \Phi_{g} \sigma^{-1}$. Доказать, что каждое транзитивное действие группы $G$ эквивалентно действию $G$ на левых смежных классах по некоторой подгруппе $H$.

Опираясь на теорему 2, доказать, что все группы порядка $p^{2}$ ($p$ — простое число) абелевы.

Показать, что центр группы $P$, приведённой в конце примера 1, имеет вид

Найти сопряжённые классы группы $P$.

Пусть $n$ — натуральное число. Запишем его в виде суммы $n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{m}$ с $n_{1} \geqslant n_{2} \geqslant \ldots \geqslant n_{m} \geqslant 1$. Число всех таких разбиений с $m=1,2, \ldots$ обозначим через $p(n)$, так что $p(3)=3, p(4)=5$ и т.д. Разложение $\pi =\pi_{1} \pi_{2} \ldots \pi_{m}$ каждой перестановки $\pi \in S_{n}$ в произведение независимых циклов (см. [ВА I, гл. 1, § 8]) однозначно определяет разбиение числа $n$. Показать, что классы сопряжённости группы $S_{n}$ находятся в биективном соответствии с разбиениями числа $n$.

Пусть перестановка $\pi \in S_{n}$ записывается в виде произведения $r$ циклов длины $1, s$ циклов длины $2, t$ циклов длины 3 и т.д., так что $n=r+2 s+3 t+\ldots$ Показать, что мощность сопряжённого класса в $S_{n}$, содержащего перестановку $\pi$, выражается формулой

Пусть группа $G$ действует на множестве $\Omega$. Назовём подмножество $\Gamma \subset \Omega$ инвариантним относительно $G$ (или $G$-инвариантным), если $g x \in \Gamma$ для всех $g \in G$ и $x \in \Gamma$. Например, инвариантными множествами при действии $S O(2)$ на $\mathbb {R}^{2}$ являются концентрические кольца.

Рис. 1

Показать, что всякое инвариантное подмножество в $\Omega$ является объединением орбит, причём $G$-орбита любого элемента $x \in \Omega$ есть не что иное, как наименьшее инвариантное подмножество, содержащее $x$.

Показать, что для группы $G$ с подгруппой $H$ действие $H \times G \longrightarrow G$, определённое сдвигом $(h, g) \mapsto h g$, задаёт разбиение $G$ на правые смежные классы $G$ по $H$.

Видоизменив доказательство теоремы 1, получить соотношение

где $r(G: \Omega )$ — число орбит группы перестановок $G$, действующей на множестве $\Omega$.

Наряду с централизатором $C(a)=\left\{ x \in G \mid x a=a x\right\}$ в группе $G$ рассматривают ещё косой централизатор

встречающийся в теории динамических систем. Вообще говоря, $D(a)$ не является группой.

Доказать, что:

1. $D(a)$ группа $\Longleftrightarrow a^{2}=e$ и $D(a)=C(a)$;

2. множество $\mathbb {E}\left[a\right]=C(a) \cup D(a)$ всегда является группой.