Аффинные пространства

Проверить, что $\Pi^{\prime }=\dot{p}+U^{\prime }, \Pi^{\prime \prime }=\dot{q}+U^{\prime \prime }$ являются пересекающимися, т.е. имеющими хотя бы одну общую точку, ровно тогда, когда $\overrightarrow {p q} \in U^{\prime }+U^{\prime \prime }$ (ср. со следствием теоремы 4).

Пусть $A\left(\Pi_{1}, \ldots , \Pi_{m}\right)$ — аффинная оболочка прямых $\Pi_{1}, \ldots , \Pi_{m}$ в вещественном $n$-мерном аффинном пространстве $\mathbb {A}$. При каком минимальном $m$ имеет место совпадение $A\left(\Pi^{1}, \ldots , \Pi^{m}\right)=\mathbb {A}$?

Пусть $\left(\dot{p}_{0}, \dot{p}_{1}, \ldots , \dot{p}_{n}\right)$ — репер аффинного пространства $\mathbb {A}$ размерности $n$ и $\left(\dot{p}_{0}^{\prime }, \dot{p}_{1}^{\prime }, \ldots , \dot{p}_{n}^{\prime }\right)$ — набор из $n+1$ точки аффинного пространства $\mathbb {A}^{\prime }$. Доказать, что существует в точности одно аффинное отображение $f: \mathbb {A} \rightarrow \mathbb {A}^{\prime }$, для которого $f\left(\dot{p}_{i}\right)=\dot{p}_{i}^{\prime }, i=0,1, \ldots , n$.

Убедиться в том, что барицентрическая комбинация конечного числа барицентрических комбинаций точек $\dot{p}_{0}, \dot{p}_{1}, \ldots , \dot{p}_{n}$ является барицентрической комбинацией этих точек.

Пусть $\mathbb {A}-n$-мерное аффинное пространство. Доказать, что отображение $f: \mathbb {A} \rightarrow \mathbb {A}$, сохраняющее любые барицентрические комбинации точек из $\mathbb {A}$, является аффинным преобразованием (обращение утверждения i) из предложения 2).

Используя свойства аффинных преобразований, доказать известную теорему о том, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.