Комплексификация и овеществление

Предлагается убедиться в том, что ортогональный оператор $\mathcal{A}$ на евклидовом векторном пространстве $V$, не имеющий собственных векторов (это возможно лишь в случае $\operatorname {dim} V=2 m$), является овеществлением унитарного оператора $\mathcal{B}: U \rightarrow U$ на комплексном векторном пространстве $U$ размерности $m$, связанном с $V$. Заметим в этой связи, что овеществление унитарного пространства приводит к евклидову пространству в два раза большей размерности.

Доказать формулу из предложения 3, выбрав базис $(\mathbf{e}_{1}, \ldots , \mathbf{e}_{n})$ комплексного пространства $U$, в котором матрица $A$ оператора $\mathcal{A}: U \rightarrow U$ имеет верхнетреугольную форму с $\lambda_{1}, \ldots , \lambda_{n}$ по диагонали.

Предложение 3: $\operatorname {det} A_{\mathbb {R}}=\left|\operatorname {det} A\right|^{2}$.

Пусть $U$ — векторное пространство над $\mathbb {C}$. Чему изоморфна комплексификация $U^{\mathbb {C}}$?

Пусть $(V,(* \mid *))$ — евклидово пространство, $V^{\mathbb {C}}$ — его комплексификация, $\mathcal{A}$ — линейный оператор на $V^{\mathbb {C}}$, определяемый правилом: $\mathcal{A}(\mathbf{u}+i \mathbf{v})=\mathbf{u}-i \mathbf{v}$ для всех $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$. Будет ли $\mathcal{A}$ линейным оператором на овеществлении ${ }^{\mathbb {R}} V^{\mathbb {C}}$, и если да, то будет ли $\mathcal{A}$ симметричным, ортогональным, идемпотентным?