§ II.3.3

Линейные операторы на пространствах со скалярным произведением

[13/92%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача II.3.3.1

Когда унитарная $n \times n$ -матрица $A$ записывается в виде (мультипликативного) коммутатора $A=X Y X^{-1} Y^{-1}$ с унитарными матрицами $X, Y$ ? Условие $\operatorname {det} A=1$ , очевидно, необходимо. Доказать, что оно и достаточно. Другими словами, в группе $S U(n)$ каждый элемент является коммутатором.

Задача II.3.3.2

Под матрицей Яко́би понимается вещественная матрица вида

J=\left\Vert \begin{smallmatrix} a_1 & -b_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -c_1 & a_2 & -b_2 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -c_2 & a_3 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} & -b_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -c_{n-1} & a_n \end{smallmatrix}\right\Vert , \qquad b_ic_i>0, \quad 1\leqslant i\leqslant n-1.

Доказать, что $\operatorname {Spec}(J)$ всегда вещественный и простой.

Задача II.3.3.3

Справедлив ли аналог теоремы 13, когда один из операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ эрмитов, а второй является изометрией?

Теорема 13: два эрмитовых оператора $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ или две изометрии $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ на $n$ -мерном эрмитовом пространстве $V$ одновременно приводятся к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе тогда и только тогда, когда они перестановочны.

Задача II.3.3.4

Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — произвольные коммутирующие линейные операторы на векторном пространстве $V$ над полем $\mathfrak {K}$ . Доказать, что если каждый из операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ диагонализируем, то они одновременно диагонализируемы, т.е. существует базис в $V$ , состоящий из собственных векторов как для $\mathcal{A}$ , так и для $\mathcal{B}$ .

Задача II.3.3.5

Доказать, что если $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ — положительно определённые линейные операторы и $\mathcal{A B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ , то $\mathcal{A B}$ — тоже положительно определённый оператор.

Задача II.3.3.6

Доказать, что если ${ }^{t} A=-A$ , то $A^{2}$ — симметричная неположительно определённая матрица. В частности, отличные от нуля собственные значения кососимметричной матрицы являются чисто мнимыми.

Задача II.3.3.7

Пусть $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — эрмитовы (симметричные) операторы, из которых один, скажем, $\mathcal{A}$ , положительно определённый. Доказать, что тогда $\operatorname {Spec}(\mathcal{A B})$ вещественный.

Задача II.3.3.8

Пусть $q(\mathbf{x})$ — квадратичная форма в евклидовом пространстве $\mathbb {E}$ со скалярным произведением (|). В каких точках единичной сферы $(\mathbf{x} \mid \mathbf{x})=1$ форма $q$ достигает максимума или минимума? Более общо: в каких точках единичной сферы форма $q$ принимает стационарное значение, т.е. все её производные в этих точках по любому направлению равны нулю? Доказать, что справедливо следующее утверждение.

Квадратичная форма $q(\mathbf{x})$ принимает стационарные значения ровно в тех точках единичной сферы, которые отвечают собственным векторам симметричного оператора $\mathcal{F}$ , определяемого формой $q(\mathbf{x})=(\mathcal{F} \mathbf{x} \mid \mathbf{x})$ .

В частности, максимум формы $q(\mathbf{x})$ на единичной сфере равен наибольшему из её канонических коэффициентов, а минимум — наименьшему (экстремальные значения квадратичной формы).

Задача II.3.3.9

Доказать следующее обобщение леммы 6.

Теорема 16. Любое семейство коммутирующих линейных операторов на конечномерном комплексном векторном пространстве обладает общим собственным вектором.

Задача II.3.3.10

Доказать, что если

\mathfrak {S}=\left\{ A_{i} \in M_{n}(\mathbb {C}) \mid A_{i} A_{j}=A_{j} A_{i} ; i, j \in J\right\}

любое множество коммутирующих (попарно перестановочных) матриц порядка $n$ , то найдётся такая невырожденная матрица $C$ , что сопряжённое множество

C^{-1} \mathfrak {S} C=\left\{ C^{-1} A_{j} C \mid j \in J\right\}

будет состоять из коммутирующих верхнетреугольных матриц.

Задача II.3.3.11

Пусть, как обычно, $E$ — единичная матрица порядка $n ; E_{i j}, 1 \leqslant i, j \leqslant n$ , — матричные единицы. Проверить, что семейство

\mathfrak {E}=\left\{ E_{i j} \mid 1 \leqslant i \leqslant \left[n^{2} / 2\right],\left[n^{2} / 2\right]+1 \leqslant j \leqslant n\right\} \cup \left\{ E\right\}

имеет мощность $\left[n^{2} / 4\right]+1$ и состоит из линейно независимых коммутирующих верхнетреугольных матриц. Под $[p / q]$ понимается целая часть дроби $p / q$ .

Задача II.3.3.12

Теорема [И. Шур, 1905]. Максимальная размерность коммутативной подалгебры в $M_{n}(\mathbb {C})$ равна $\left[n^{2} / 4\right]+1$ .

Другими словами, нужно доказать, что максимальное число попарно коммутирующих линейно независимых матриц порядка $n$ над $\mathbb {C}$ есть $\left[n^{2} / 4\right]+1$ .

На самом деле $\mathbb {C}$ можно заменить на любое поле $\mathfrak {K}$ .

Задача II.3.3.13

Доказать следующее утверждение. Пусть $(V,(* \mid *))$ — евклидово векторное пространство чётной размерности $n=2 m$ , и пусть $f(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ — невырожденная кососимметричная форма на $V$ . Тогда найдутся разложение $V$ в прямую сумму $V=V_{1} \oplus V_{2}$ двух $m$ -мерных подпространств и невырожденный симметричный (относительно (|)) линейный оператор $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ такие, что