Евклидовы векторные пространства

В пространстве $P_{3}$ вещественных многочленов $f(t)$ степени $<3$ векторы $1, t$ ортогональны относительно скалярного произведения, заданного формулой $(f \mid g)=\int_{-1}^{1} f(t) g(t) d t$ (частный случай формулы (2)). Найти:

Пусть $(V,(* \mid *))$ — евклидово трёхмерное векторное пространство такое, что $\left\| \mathbf{x}\right\|^{2}=(\mathbf{x} \mid \mathbf{x})=3 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ (проверить, что эта форма положительно определена). Найти:

Используя процесс ортогонализации Грама-Шмидта, доказать, что любая невырожденная матрица $A=\left(a_{i j}\right) \in M_{n}(\mathbb {R})$ может быть записана в виде произведения $A=B C$ ортогональной матрицы $B$ и верхней треугольной матрицы $C \mathrm{c} \operatorname {det} B= \pm \operatorname {det} A$.

Множество $M_{n}(\mathbb {R})$, рассматриваемое как $n^{2}$-мерное евклидово пространство со стандартным скалярным произведением, содержит группу $O(n)$ ортогональных матриц, определяемых $n(n+1) / 2$ соотношениями (15) или (15') $(O(n)$ суть ортогональная группа). Таким образом, $O(n)$ можно рассматривать как "алгебраическое многообразие" размерности $n^{2}-n(n+1) / 2=n(n-1) / 2=\operatorname {dim} \mathfrak {o}(n)$, где $\mathfrak {o}(n)$ — векторное пространство кососимметричных матриц порядка $n$. Естественно ожидать какого-то хорошего соответствия между множествами $O(n)$ и $\mathfrak {o}(n)$. Примером такого соответствия служит преобразование Кэли

Требуется доказать, что если $A \in O(n), \operatorname {det}(E-A) \neq 0$, то $K \in \mathfrak {o}(n)$. Верно и обратное: каждой матрице $K \in \mathfrak {o}(n)$ отвечает $A \in O(n)$ с $1 \notin \operatorname {Spec}(A)$. При указанном соответствии из "алгебраического многообразия" $O(n)$ требуется выбросить "гиперповерхность", определяемую уравнением $\operatorname {det}(E-A)=0$.

Можно предложить другое преобразование Кэли

где из $O(n)$ нужно удалить "гиперповерхность" с уравнением $\operatorname {det}(A+E)=0$, или, что эквивалентно, ортогональные матрицы с $-1 \notin \operatorname {Spec}(A)$.

Требуется убедиться в справедливости соответствия (19).

Проверить, что ортогональные матрицы, полученные преобразованием Кэли из кососимметричных (в соотношениях (18) и (19)), имеют определитель 1 (множество всех таких матриц обозначается символом $S O(n)$).

Доказать, что характеристический многочлен $\chi_{A}(t)$ ортогональной $n \times n$-матрицы $A$ обладает свойством

Пусть $A=\left[A_{(1)}, \ldots , A_{(n)}\right]$ — произвольная матрица с попарно ортогональными строками. Доказать, что

(стандартная норма векторов в $\mathbb {R}^{n}$).

Пусть $X=\left[X_{(1)}, \ldots , X_{(n)}\right]$ — произвольная матрица из $M_{n}(\mathbb {R})$. Доказать, что

(неравенство Адамара).