§ I.6.4

Многочлены с вещественными коэффициентами

[14/0%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача I.6.4.1

Пусть $f(X)=a_{0} X^{n}+a_{1} X^{n-1}+\ldots +a_{n}$ — вещественный многочлен степени $n$ . Показать, что значение верхних границ положительных корней многочленов $f(X), X^{n} f(1 / X), f(-X), X^{n} f(-1 / X)$ даёт нижние и верхние границы как положительных, так и отрицательных корней многочлена $f(X)$ .

Задача I.6.4.2

В обозначениях упр. 1 пусть $a_{0}>0, m$ — наименьший индекс, для которого $a_{m}<0, B$ — максимум среди абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Показать, что

c \leqslant 1+\sqrt[m]{B / a_{0}}

для всякого положительного вещественного корня многочлена $f(X)$ .

Задача I.6.4.3

Пусть $P$ — поле нулевой характеристики, $a \in P$ . Для любого многочлена $f \in P[X]$ степени $n$ имеет место формула (формула Тейлора)

f(X)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1 !}(X-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2 !}(X-a)^{2}+\ldots +\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(X-a)^{n}.

Задача I.6.4.4

Показать, что если $f(a)>0, f^{\prime }(a)>0, \ldots , f^{(n)}(a)>0$ для вещественного многочлена $f(X)$ степени $n$ с положительным старшим коэффициентом $a_{0}$ , то $f(c)=0, c>0 \Longrightarrow c<a$

Задача I.6.4.5

Воспользовавшись правилом знаков Декарта, найти знак дискриминанта многочленов $X^{5}-X^{2}+1, X^{3}-6 X-9$ (см. замечание в конце п. 1).

Задача I.6.4.6

Могут ли многочлены $X^{5}-X-1, X^{3}+a X+b \in \mathbb {Q}{}[X]$ иметь общие комплексные корни? Напомним (см. упр. 11 из § 1), что многочлен $X^{5}-X-1$ неприводим над $\mathbb {Q}$ .

Задача I.6.4.7

Показать, что корни многочлена $f(X)=X^{5}+u X^{4}+v X^{3}+w \in \mathbb {R}{}[X]$ со свободным членом $w \neq 0$ не могут быть все вещественными.

Задача I.6.4.8

Любой многочлен $f(X)$ с $f(x) \geqslant 0$ для всех $x \in \mathbb {R}$ можно представить в виде

f(X)=g(X)^{2}+h(X)^{2}

где $g, h \in \mathbb {R}{}[X]$

Задача I.6.4.9

Получить самостоятельно критерий устойчивости многочленов степеней 3 и 4. При $n=4$ записать его в виде неравенств:

a_{1}>0, \quad a_{4}>0, \quad a_{1} a_{2}>0, \quad a_{3}\left(a_{1} a_{2}-a_{3}\right)>a_{1}^{2} a_{4}

Задача I.6.4.10

Имеет ли многочлен $f(X)$ , стоящий в числителе несократимой рациональной дроби

\frac{f(X)}{g(X)}=\frac{3}{X+2}+\frac{1}{(X-1)^{2}}-\frac{2}{X-1}+\frac{X-3}{X^{2}+1}

вещественные корни?

Задача I.6.4.11

Показать, что все три корня неприводимого над $\mathbb {Q}$ многочлена $f(z)=z^{3}-7 z-7$ — вещественные и лежат в интервале $]-2,4[$ . Вычислить положительный корень методом Ньютона с точностью до третьего десятичного знака.

Задача I.6.4.12

Опираясь на теорему Руше (теорема 4), показать, что многочлен $f(z)=z^{5}+5 z^{2}-3$ имеет два корня в единичном круге и три корня в кольце между окружностями $\left|z\right|=1$ и $\left|z\right|=2$ .