Симметрические многочлены

Пусть $p$ — простое число. При помощи формул Ньютона (9), (10) показать, что

Используя систему рекуррентных формул Ньютона и формулы Крамера, получить следующие явные выражения $\mathbf{p}_{k}$ через $\mathbf{s}_{k}$ и $\mathbf{s}_{k}$ через $\mathbf{p}_{k}$ :

Пусть $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ — комплексные корни многочлена $X^{3}-X+1$. Что можно сказать о расширении $\mathbb {Q}\left(c_{1}^{99}+c_{2}^{99}+c_{3}^{99}\right)$?

Многочлен $f\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ над полем $P$ характеристики $\neq 2$ называется кососимметрическим (или знакопеременным), если $\forall \pi \in S_{n}(\pi \circ f)\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)=\varepsilon_{\pi } f\left(X_{1}, \ldots , X_{n}\right)$ (как всегда, $\varepsilon_{\pi }$ — знак перестановки). Примером кососимметрического многочлена может служить $\Delta_{n}=\prod_{j<i}\left(X_{i}-X_{j}\right)$. Показать, что любой кососимметрический многочлен $f \in P\left[X_{1}, \ldots , X_{n}\right]$ имеет вид $f=\Delta_{n} \cdot g$, где $g$ — симметрический многочлен.

Используя свойство $\mathrm{R} 2$ и факт существования поля разложения многочлена (см. следующий параграф), показать, что

Из упр. 5 и из R 3 вывести формулу

Чему равен результант $\operatorname {Res}(f(X), X-a)$?

Показать, что $D\left(X^{n}+a\right)=(-1)^{n(n-1) / 2} n^{n} a^{n-1}$.

Пусть $f(X)=X^{n-1}+X^{n-2}+\ldots +1$. Используя соотношение $X^{n}-1=(X-1) f(X)$ и предыдущие упражнения, показать, что $D(f)=(-1)^{(n-1)(n-2) / 2} \times n^{n-2}$.