I.1.7

Принцип математической индукции

[2/0%]
LaTeX
Задача I.1.7.1

Положим

s(n)=sin⁡φ+sin⁡2φ+…+sin⁡nφ,c(n)=cos⁡φ+cos⁡2φ+…+cos⁡nφ. \begin{aligned} & s(n)=\sin \varphi +\sin 2 \varphi +\ldots +\sin n \varphi , \\ & c(n)=\cos \varphi +\cos 2 \varphi +\ldots +\cos n \varphi . \end{aligned}

Индукцией по nn доказать формулы

s(n)=sin⁡(nφ/2)sin⁡((n+1)φ/2)sin⁡(φ/2),c(n)=sin⁡(nφ/2)cos⁡((n+1)φ/2)sin⁡(φ/2) s(n)=\frac{\sin (n \varphi / 2) \sin ((n+1) \varphi / 2)}{\sin (\varphi / 2)}, \quad c(n)=\frac{\sin (n \varphi / 2) \cos ((n+1) \varphi / 2)}{\sin (\varphi / 2)}
?
Задача I.1.7.2

Имеют место формулы:

?
(а)

∑k=1nctg⁡2(kπ2n+1)=n(2n−1)3\sum_{k=1}^{n} \operatorname {ctg}^{2}\left(\frac{k \pi }{2 n+1}\right)=\frac{n(2 n-1)}{3};

(б)

∑k=0n(2kk)(2n−2kn−k)=4n\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}2 k \\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2 n-2 k \\ n-k\end{array}\right)=4^{n}.

Убедиться в их справедливости хотя бы при n⩽5n \leqslant 5.