47

Основные понятия

[19/89%]
Показать
LaTeX
Задача 47.1

Какие из следующих тензоров, заданных своими координатами, разложимы:

?
(а)

tij=ijt_{i j}=i j;

(б)

tji=δ1ijt_{j}^{i}=\delta_{1 i} j;

(в)

tij=i+jt^{i j}=i+j;

(г)

tijk=2i+j+k2t_{i j}^{k}=2^{i+j+k^{2}};

(д)

tkij=δijδjkt_{k}^{i j}=\delta_{i j} \delta_{j k};

(е)

tijk=δijδjkδk1t_{i j k}=\delta_{i j} \delta_{j k} \delta_{k 1}?

Задача 47.2

Найти значение F(v,f)F(v, f) тензора

F=e1⊗e2+e2⊗(e1+3e3)∈T11(V) F=e^{1} \otimes e_{2}+e^{2} \otimes \left(e_{1}+3 e_{3}\right) \in \mathbb {T}_{1}^{1}(V)

где v=e1+5e2+4e3,f=e1+e2+e3v=e_{1}+5 e_{2}+4 e_{3}, \quad f=e^{1}+e^{2}+e^{3}.

?
Задача 47.3

Найти значение тензора A⊗B−B⊗A∈T50(V)A \otimes B-B \otimes A \in \mathbb {T}_{5}^{0}(V) от набора (v1,…,v5)\left(v_{1}, \ldots , v_{5}\right) :

?
(а)

A=e1⊗e2+e2⊗e3+e2⊗e2∈T20(V)A=e^{1} \otimes e^{2}+e^{2} \otimes e^{3}+e^{2} \otimes e^{2} \in \mathbb {T}_{2}^{0}(V), B=e1⊗e1⊗(e1−e3)∈T30(V)B=e^{1} \otimes e^{1} \otimes \left(e^{1}-e^{3}\right) \in \mathbb {T}_{3}^{0}(V), v1=e1,v2=e1+e2,v3=e2+e3,v4=v5=e2;v_{1}=e_{1}, \quad v_{2}=e_{1}+e_{2}, \quad v_{3}=e_{2}+e_{3}, \quad v_{4}=v_{5}=e_{2} ;

(б)

A=e1⊗e2+e2⊗e3+e3⊗e1∈T20(V)A=e^{1} \otimes e^{2}+e^{2} \otimes e^{3}+e^{3} \otimes e^{1} \in \mathbb {T}_{2}^{0}(V), B∈T30(V)B \in \mathbb {T}_{3}^{0}(V), все координаты тензора BB равны 1, v1=e1+e2,v2=e2+e3,v3=e3+e1,v4=v5=e2v_{1}=e_{1}+e_{2}, \quad v_{2}=e_{2}+e_{3}, \quad v_{3}=e_{3}+e_{1}, \quad v_{4}=v_{5}=e_{2}.

Задача 47.4

Найти значение F(v,v,v,f,f)F(v, v, v, f, f) тензора F∈T32(V)F \in \mathbb {T}_{3}^{2}(V), если все координаты тензора FF равны 3, и v=e1+2e2+3e3+4e4,f=e1−e4v=e_{1}+2 e_{2}+3 e_{3}+4 e_{4}, f=e^{1}-e^{4}.

?
Задача 47.5

Найти координату t~12312\widetilde{t}_{123}^{12} тензора T∈T32(V)T \in \mathbb {T}_{3}^{2}(V), все координаты которого в базисе (e1,e2,e3)(e_{1}, e_{2}, e_{3}) равны 2, в базисе

(e~1,e~2,e~3)=(e1,e2,e3)[123012001] \left(\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \widetilde{e}_{3}\right)=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix}\right]
?
Задача 47.6

Найти координаты с индексами 1,2,3,3,31,2,3,3,3 произведений A⊗BA \otimes B и B⊗AB \otimes A тензоров

A=e1⊗e2+e3⊗e3∈T20(V),B=B(v1,v2,v3)∈T30(V) A=e^{1} \otimes e^{2}+e^{3} \otimes e^{3} \in \mathbb {T}_{2}^{0}(V), \quad B=B\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb {T}_{3}^{0}(V)

где B(v1,v2,v3)B\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) — определитель, составленный из координат v1,v2v_{1}, v_{2}, v3v_{3} в базисе (e1,e2,e3)\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right).

?
Задача 47.7

Найти координаты:

?
(а)

t~211\widetilde{t}_{21}^{1} тензора e1⊗e2⊗(e1+e2)∈T21(V)e^{1} \otimes e^{2} \otimes \left(e_{1}+e_{2}\right) \in \mathbb {T}_{2}^{1}(V) в базисе

(e~1,e~2)=(e1,e2)[1123] \left(\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}\right)=\left(e_{1}, e_{2}\right)\left[\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{smallmatrix}\right]
(б)

t~112\widetilde{t}_{1}^{12} тензора T∈T12(V)T \in \mathbb {T}_{1}^{2}(V), все координаты которого равны 1, в базисе

(e~1,e~2)=(e1,e2)[1225] \left(\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}\right)=\left(e_{1}, e_{2}\right)\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{smallmatrix}\right]
(в)

t~3112\widetilde{t}_{31}^{12} тензора e2⊗e1⊗e3⊗e1+e3⊗e3⊗e1⊗e2∈T22(V)e^{2} \otimes e^{1} \otimes e_{3} \otimes e_{1}+e^{3} \otimes e^{3} \otimes e_{1} \otimes e_{2} \in \mathbb {T}_{2}^{2}(V) в базисе

(e~1,e~2,e~3)=(e1,e2,e3)[100210321] \left(\widetilde{e}_{1}, \widetilde{e}_{2}, \widetilde{e}_{3}\right)=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)\left[\begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatrix}\right]
Задача 47.8

Найти координаты тензоров:

?
(а)

(e1+e2)⊗(e1−e2)\left(e_{1}+e_{2}\right) \otimes \left(e_{1}-e_{2}\right);

(б)

(e1+e2)⊗(e1+e2)\left(e_{1}+e_{2}\right) \otimes \left(e_{1}+e_{2}\right);

(в)

(e1+2e2)⊗(e1+e2)−(e1+e2)⊗(e1+2e2)\left(e_{1}+2 e_{2}\right) \otimes \left(e_{1}+e_{2}\right)-\left(e_{1}+e_{2}\right) \otimes \left(e_{1}+2 e_{2}\right);

(г)

(e1+2e2)⊗(e3+e4)−(e1−2e2)⊗(e3−e4)\left(e_{1}+2 e_{2}\right) \otimes \left(e_{3}+e_{4}\right)-\left(e_{1}-2 e_{2}\right) \otimes \left(e_{3}-e_{4}\right).

Задача 47.9

Пусть n=4,T=e1⊗e2+e2⊗e3+e3⊗e4∈T11(V)n=4, T=e^{1} \otimes e_{2}+e^{2} \otimes e_{3}+e^{3} \otimes e_{4} \in \mathbb {T}_{1}^{1}(V). Найти все такие:

?
(а)

f∈V∗f \in V^{*}, что T(v,f)=0T(v, f)=0 для любого v∈Vv \in V;

(б)

v∈Vv \in V, что T(v,f)=0T(v, f)=0 для любого f∈V∗f \in V^{*}.

Задача 47.10

Пусть n=3n=3, поле K=Zp,T=e1⊗e2+e2⊗e3∈T11(V)K=\mathbf{Z}_{p}, T=e^{1} \otimes e_{2}+e^{2} \otimes e_{3} \in \mathbb {T}_{1}^{1}(V). Найти число пар (v,f)∈V×V∗(v, f) \in V \times V^{*}, для которых T(v,f)=0T(v, f)=0.

?
Задача 47.11

Найти ранг билинейных функций:

?
(а)

(e1+e2)⊗(e1+e3)−e1⊗e1−e2⊗e2\left(e^{1}+e^{2}\right) \otimes \left(e^{1}+e^{3}\right)-e^{1} \otimes e^{1}-e^{2} \otimes e^{2};

(б)

(e1−2e3)⊗(e1+3e2−e4)+(e1−2e3)⊗e4\left(e^{1}-2 e^{3}\right) \otimes \left(e^{1}+3 e^{2}-e^{4}\right)+\left(e^{1}-2 e^{3}\right) \otimes e^{4};

(в)

(e1+e3)⊗(e2+e4)−(e2−e4)⊗(e1−e3)\left(e^{1}+e^{3}\right) \otimes \left(e^{2}+e^{4}\right)-\left(e^{2}-e^{4}\right) \otimes \left(e^{1}-e^{3}\right).

Задача 47.12

Доказать, что:

?
(а)

ранг билинейной функции u⊗vu \otimes v, где элементы u,v∈V∗u, v \in V^{*} отличны от 0, равен 1 ;

(б)

ранг билинейной функции ∑i=1kui⊗vi\sum_{i=1}^{k} u_{i} \otimes v_{i}, где ui,…,uk,v1,…,vk∈V∗u_{i}, \ldots , u_{k}, v_{1}, \ldots , v_{k} \in V^{*}, не превосходит kk.

Задача 47.13

Найти полную свертку тензоров:

?
(а)

(e1+3e2−e3)⊗(e1−2e3+3e4)−(e1+e3)⊗(e1−3e3+e4)\left(e_{1}+3 e_{2}-e_{3}\right) \otimes \left(e^{1}-2 e^{3}+3 e^{4}\right)-\left(e_{1}+e_{3}\right) \otimes \left(e^{1}-3 e^{3}+e^{4}\right);

(б)

(e1+2e2+3e3)⊗(e1+e2−2e3)−(e1−e2+e4)⊗(e2−2e3−3e4)\left(e_{1}+2 e_{2}+3 e_{3}\right) \otimes \left(e^{1}+e^{2}-2 e^{3}\right)-\left(e_{1}-e_{2}+e_{4}\right) \otimes \left(e^{2}-2 e^{3}-3 e^{4}\right);

(в)

e1⊗(e1+e2+e3+e4)+e2⊗(e1+2e2+2e3+4e4)+2e3⊗(e1−e2−e4)e_{1} \otimes \left(e^{1}+e^{2}+e^{3}+e^{4}\right)+e_{2} \otimes \left(e^{1}+2 e^{2}+2 e^{3}+4 e^{4}\right)+2 e_{3} \otimes \left(e^{1}-e^{2}-e^{4}\right).

Задача 47.14

Пусть α:V∗⊗V→L(V)\alpha : V^{*} \otimes V \rightarrow L(V) — канонический изоморфизм. Вычислить α(t)v\alpha (t) v при n=4n=4, где:

?
(а)

t=e1⊗e3,v=e1+e2+e3+e4t=e^{1} \otimes e_{3}, \quad v=e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4};

(б)

t=(e1+e2)⊗(e3+e4),v=2e1+3e2+2e3+3e4t=\left(e^{1}+e^{2}\right) \otimes \left(e_{3}+e_{4}\right), \quad v=2 e_{1}+3 e_{2}+2 e_{3}+3 e_{4}.

Задача 47.15

Найти x∈V∗⊗Vx \in V^{*} \otimes V такой, что α(x)=α(t)2\alpha (x)=\alpha (t)^{2} для tt, равного:

?
(а)

(2e1−e3)\left(2 e^{1}-e^{3}\right) ⊗(e1+e2);\otimes \left(e_{1}+e_{2}\right) ;

(б)

e1⊗e2+(e1+2e2)⊗e3e^{1} \otimes e_{2}+\left(e^{1}+2 e^{2}\right) \otimes e_{3}.

Задача 47.16

Пусть на пространстве VV задано скалярное произведение с матрицей

[2100110000110012] \left[\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right]

Провести опускание и подъем индексов у тензоров:

?
(а)

e1⊗e3+e2⊗e4e^{1} \otimes e_{3}+e^{2} \otimes e_{4};

(б)

(e1+e2)⊗(e3+e4)−(e1+e3)⊗e3\left(e^{1}+e^{2}\right) \otimes \left(e_{3}+e_{4}\right)-\left(e^{1}+e^{3}\right) \otimes e_{3};

(в)

tji=δ2i+δ4jt_{j}^{i}=\delta_{2 i}+\delta_{4 j};

(г)

tji=iδijt_{j}^{i}=i \delta_{i j}.

Задача 47.17

Доказать, что если оператор A\mathcal{A} диагонализируем, то оператор A⊗k\mathcal{A}^{\otimes^{k}} также диагонализируем.

?
Задача 47.18

Пусть aa — след оператора A,d\mathcal{A}, d — его определитель. Найти:

?
(а)

tr⁡(A⊗A)\operatorname {tr}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{A});

(б)

tr⁡(A⊗k)\operatorname {tr}\left(\mathcal{A}^{\otimes^{k}}\right);

(в)

det⁡(A⊗A)\operatorname {det}(\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}).

Задача 47.19

Найти жорданову форму матрицы оператора A⊗B\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}, если матрицы операторов A\mathcal{A} и B\mathcal{B} имеют соответственно жорданову форму:

?
(а)

(1101),(100020003);\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right) ;

(б)

(1101),(2102)\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right);

(в)

(1101),(010001000)\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right).