Сборник задач по алгебре/II · Линейная алгебра и геометрия

Глава VIII

Билинейные и квадратичные функции

[81/63%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

37 · Общие билинейные и полуторалинейные функции

38 · Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции

37 · Общие билинейные и полуторалинейные функции[46/63%]

Задача 37.1

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)(н)(о)(п)(р)(с)(т)(у)

Какие из следующих функций двух аргументов являются билинейными функциями в соответствующих пространствах:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x, y)={ }^{t} x \cdot y \quad \left(x, y \in F^{n}\right.$ — столбцы, $F$ — поле);

(б)

$f(A, B)=\operatorname {tr}(A B) \quad \left(A, B \in \mathbf{M}_{n}(F), F\right.$ — поле);

(в)

$f(A, B)=\operatorname {tr}(A B-B A)$ ;

(г)

$f(A, B)=\operatorname {det}(A B)$ ;

(д)

$f(A, B)=\operatorname {tr}(A+B)$ ;

(е)

$f(A, B)=\operatorname {tr}\left(A \cdot { }^{t} B\right)$ ;

(ж)

$f(A, B)=\operatorname {tr}\left({ }^{t} A \cdot B\right)$ ;

(з)

$f(A, B)$ — коэффициент на месте $(i, j)$ матрицы $A B$ ;

(и)

$f(u, v)=\operatorname {Re}(u v) \quad (u, v \in \mathbb {C}, \mathbb {C}$ — векторное пространство над $\mathbb {R})$ ;

(к)

$f(u, v)=\operatorname {Re}(u \bar{v})$ ;

(л)

$f(u, v)=\left|u v\right|$ ;

(м)

$f(u, v)=\operatorname {Im}(u \bar{v})$ ;

(н)

$f(u, v)=\int_{b}^{a} u v d t \quad (u, v$ — непрерывные функции аргумента $t$ на отрезке $[a, b]$ );

(о)

$f(u, v)=\int_{b}^{a} u v^{\prime } d t \quad (u, v$ — дифференцируемые функции на отрезке $[a, b]$ , причём $u(a)=u(b)=v(a)=v(b)=0)$ ;

(п)

$f(u, v)=\int_{b}^{a}(u+v)^{2} d t ;$

(р)

$f(u, v)=(u v)(\alpha ) \quad (u, v \in F[x], \quad \alpha \in F)$ ;

(с)

$f(u, v)=\frac{d}{d t}(u v)(a)$ ;

(т)

$f(u, v)=\left|u+v\right|^{2}-\left|u\right|^{2}-\left|v\right|^{2} \quad \left(u, v \in \mathbb {R}^{3}\right)$ ;

(у)

$f(u, v)=\varepsilon (u \times v)$ ( $\times$ — векторное умножение, $\varepsilon (x)$ — сумма координат вектора $x$ в заданном базисе).

Задача 37.2

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)

В конечномерных пространствах из задачи 37.1 выбрать базис и найти матрицы соответствующих билинейных функций:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x, y)={ }^{t} x \cdot y \quad (x, y \in F^{n}$ — столбцы, $F$ — поле);

(б)

$f(A, B)=\operatorname {tr}(A B) \quad (A, B \in \mathbf{M}_{n}(F)$ , $F$ — поле);

(в)

$f(A, B)=\operatorname {tr}(A B-B A)$ ;

(г)

$f(A, B)=\operatorname {tr}\left(A \cdot { }^{t} B\right)$ ;

(д)

$f(A, B)=\operatorname {tr}\left({ }^{t} A \cdot B\right)$ ;

(е)

$f(A, B)$ — коэффициент на месте $(i, j)$ матрицы $A B$ (для фиксированных $i, j$ );

(ж)

$f(u, v)=\operatorname {Re}(u v) \quad (u, v \in \mathbb {C}$ , $\mathbb {C}$ — векторное пространство над $\mathbb {R})$ ;

(з)

$f(u, v)=\operatorname {Re}(u \bar{v})$ ;

(и)

$f(u, v)=\operatorname {Im}(u \bar{v})$ ;

(к)

$f(u, v)=\left|u+v\right|^{2}-\left|u\right|^{2}-\left|v\right|^{2} \quad (u, v \in \mathbb {R}^{3})$ ;

(л)

$f(u, v)=\varepsilon (u \times v)$ ( $\times$ — векторное умножение, $\varepsilon (x)$ — сумма координат вектора $x$ в заданном базисе).

Задача 37.3

Пусть $F$ — поле и $F(x)$ — поле рациональных функций от переменной $x$ . Доказать, что отображения $x \mapsto \varepsilon x^{\tau }$ задают автоморфизмы второго порядка в $F(x)$ , где $\varepsilon , \tau = \pm 1$ и $(\varepsilon , \tau ) \neq (1,1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.4

Пусть $p, q$ — различные простые числа. Доказать, что вещественные числа вида $a+b \sqrt{p}+c \sqrt{q}+d \sqrt{p q}$ , где $a, b, c, d \in \mathbb {Q}$ , образуют подполе $\mathbb {Q}(\sqrt{p}, \sqrt{q})$ в $\mathbb {R}$ . Проверить, что отображение

x \rightarrow \bar{x}=a-b \sqrt{p}+c \sqrt{q}-d \sqrt{p q}

является автоморфизмом второго порядка в этом поле.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.5

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)

Пусть $F$ — поле с автоморфизмом $a \rightarrow \bar{a}$ второго порядка. Какие из следующих функций двух аргументов являются полуторалинейными функциями в соответствующих векторных пространствах:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(a, b)={ }^{t} a \cdot \bar{b} \quad \left(a, b \in F^{n}\right.$ — столбцы $)$ ;

(б)

$f(A, B)=\operatorname {tr}(A \bar{B}) \quad \left(A, B \in \mathbf{M}_{n}(F)\right)$ ;

(в)

$f(A, B)=\operatorname {det}(A \bar{B})$ ;

(г)

$f(A, B)=\operatorname {tr}\left(A \cdot { }^{t} \bar{B}\right)$ ;

(д)

$f(A, B)=\operatorname {tr}\left(A \cdot { }^{t} B\right)$ ;

(е)

$f(A, B)$ — элемент, стоящий на месте $(i, j)$ матрицы $A \bar{B}$ ;

(ж)

$f(A, B)$ — элемент, стоящий на месте $(i, j)$ матрицы $A^{t} \bar{B}$ ;

(з)

$f(u, v)=\frac{d}{d x}(u \bar{v})(a),(u, v \in F[x], a \in F$ ; применение автоморфизма к многочлену означает применение его ко всем коэффициентам).

Задача 37.6

(а)(б)

Найти матрицу билинейной функции $f$ в новом базисе, если заданы её матрица в старом базисе и формулы перехода:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)$ , $e_{1}^{\prime }=e_{1}-e_{2}$ , $e_{2}^{\prime }=e_{1}+e_{3}$ , $e_{3}^{\prime }=e_{1}+e_{2}+e_{3} ;$

(б)

$\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & e_{1}^{\prime }=e_{1}+2 e_{2}-e_{3}, \\ & e_{2}^{\prime }=e_{2}-e_{3}, \\ & e_{3}^{\prime }=-e_{1}+e_{2}-3 e_{3}.\end{aligned}$

Задача 37.7

(а)(б)

Пусть полуторалинейная функция $f$ в двумерном комплексном пространстве с базисом $(e_{1}, e_{2})$ задана матрицей $B$ . Найти матрицу $B^{\prime }$ функции $f$ в базисе $\left(e_{1}^{\prime }, e_{2}^{\prime }\right)$ , где:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$B=\left(\begin{array}{cc}i+1 & -1 \\ 0 & -i\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & e_{1}^{\prime }=e_{1}+i e_{2}, \\ & e_{2}^{\prime }=+i e_{1}+e_{2}\end{aligned}$

(б)

$B=\left(\begin{array}{rc}2 & -1+i \\ -i & 0\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & e_{1}^{\prime }=2 e_{1}-i e_{2}, \\ & e_{2}^{\prime }=i e_{1}+e_{2}.\end{aligned}$

Задача 37.8

(а)(б)

Пусть билинейная функция $f$ задана в некотором базисе матрицей $F$ . Найти $f(x, y)$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$F=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 5\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & x=(1,0,3), \\ & y=(-1,2,-4) ;\end{aligned}$

(б)

$F=\left(\begin{array}{ccc}i & 1+i & 0 \\ -1+i & 0 & 2-i \\ 2+i & 3-i & -1\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & x=(1+i, 1-i, 1), \\ & y=(-2+i,-i, 3+2 i).\end{aligned}$

Задача 37.9

(а)(б)

Найти значение $f(x, y)$ полуторалинейной функции, заданной в некотором базисе комплексного пространства матрицей $B$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$B=\left(\begin{array}{rc}5 & 2 \\ -1 & i\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & x=(i,-2), \\ & y=(1-i, 3+i) ;\end{aligned}$

(б)

$B=\left(\begin{array}{ll}-i & 1-2 i \\ -4 & 2+3 i\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & x=(2, i+3), \\ & y=(-i, 6-2 i).\end{aligned}$

Задача 37.10

(а)(б)

Пусть $g$ — билинейная функция с матрицей $G$ в некотором базисе пространства $V, \mathcal{A}$ — линейный оператор в $V$ с матрицей $A$ . Найти в этом базисе матрицу билинейной функции $f(u, v)=g(u$ , $\mathcal{A}(v)$ ), если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$G=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 1 & 1 \\ -3 & -4 & 2 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right) ;$

(б)

$G=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 0\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{rrr}1 & -4 & 3 \\ 4 & -1 & -2 \\ -3 & 2 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 37.11

(а)(б)

Пусть $g$ — полуторалинейная функция с матрицей $G$ в некотором базисе линейного пространства $V, \mathcal{A}$ — линейный оператор в $V$ с матрицей $A$ . Найти в этом базисе матрицу полуторалинейной функции $f(u, v)=g(u, \mathcal{A}(v))$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$G=\left(\begin{array}{cc}-5+i & 2 \\ -i & 4+i\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{cc}i & 0 \\ 2 & -i\end{array}\right) ;$

(б)

$G=\left(\begin{array}{cc}4-i & 2-i \\ 0 & 1+i\end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{cc}-i+1 & 0 \\ 4 & 3+i\end{array}\right)$ .

Задача 37.12

(а)(б)

Найти левое и правое ядра билинейной функции $f$ , заданной в базисе $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{lll}2 & -3 & 1 \\ 3 & -5 & 5 \\ 5 & -8 & 6\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lll}4 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)$ .

Задача 37.13

(а)(б)

Пусть $F=\mathbb {Q}(\sqrt{3})$ и $\bar{x}=a-b \sqrt{3}$ , если $x=a+b \sqrt{3}$ , где $a, b \in \mathbb {Q}$ . Найти в двумерном векторном пространстве над $F$ левое и правое ядра полуторалинейной функции, заданной в базисе $\left(e_{1}, e_{2}\right)$ матрицей:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{3} & -1-\sqrt{3} \\ 1 & 2-\sqrt{3}\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{cc}-3 & -2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} & 4\end{array}\right)$ .

Задача 37.14

(а)(б)

Найти левое и правое ядра билинейной функции $f(x, y)=(x, \mathcal{A}(y))$ , где $\mathcal{A}$ — линейный оператор с матрицей $A$ в ортонормированном базисе $\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)$ евклидова пространства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A=\left(\begin{array}{rrr}5 & -6 & 1 \\ 3 & -5 & -2 \\ 2 & -1 & 3\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{lll}2 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 0\end{array}\right)$ .

Задача 37.15

(а)(б)

Пусть $F, \bar{x}$ из 37.13. Найти левое и правое ядра полуторалинейной функции $f(x, y)=g(x, \mathcal{A}(y))$ , где $\mathcal{A}$ — линейный оператор с матрицей $A, g$ — полуторалинейная функция в двумерном пространстве, имеющая в базисе $(e_{1}, e_{2})$ единичную матрицу:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A=\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{3} & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 2 \sqrt{3} & 0\end{array}\right)$ .

Задача 37.16

(а)(б)

Пусть $f$ — билинейная функция с матрицей $F$ на векторном пространстве $V, U$ — подпространство в $V$ . Найти левое и правое ортогональные дополнения к $U$ относительно $f$ (т.е. максимальные подпространства $U_{1}$ и $U_{2}$ такие, что $f\left(U_{1}, U\right)=f\left(U, U_{2}\right)=0$ ), если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$F=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 6 \\ 2 & 5 & 9\end{array}\right), \quad U=\langle (1,-1,0),(-2,3,1)\rangle$ ;

(б)

$F=\left(\begin{array}{lll}6 & -8 & 5 \\ 5 & -5 & 3 \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right), \quad U=\langle (2,0,-3),(3,1,-5)\rangle$ .

Задача 37.17

(а)(б)

При $F, \bar{x}$ из 37.13, и $f$ — полуторалинейная функция с матрицей $G$ на векторном пространстве $V, U$ — подпространство в $V$ . Найти левое и правое ортогональные дополнения к $U$ относительно $f$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$G=\left(\begin{array}{ccc}1+\sqrt{3} & 2 & -\sqrt{3} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1-\sqrt{3} & 2 & 0\end{array}\right), \quad U=\langle (1,0, \sqrt{3}),(0,2,1)\rangle$ ;

(б)

$G=\left(\begin{array}{ccc}1 & -\sqrt{3} & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1-\sqrt{3} & \sqrt{3}\end{array}\right), \quad U=\langle (1,-\sqrt{3}, 2)\rangle$ .

Задача 37.18

(а)(б)(в)(г)

Пусть $F$ — конечное поле из $q^{2}$ элементов, причём $\bar{x}=x^{q}$ для всех $x \in F$ . Предположим, что $K$ — конечное поле, содержащее $F$ и $n=\operatorname {dim}_{F} K$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x \rightarrow \bar{x}$ — автоморфизм второго порядка в $F$ ;

(б)

функция

f(x, y)=x y^{q}+x^{q^{2}} y^{q^{3}}+\ldots +x^{q^{2 n-2}} y^{q^{2 n-1}}

является полуторалинейной функцией в $K$ как векторном пространстве над $F$ ;

(в)

функция $f(x, y)$ из б) невырождена;

(г)

найти левое и правое ортогональные дополнения к $F$ в $K$ относительно $f(x, y)$ .

Задача 37.19

(а)(б)(в)(г)(д)

Пусть $F=\mathbb {Q}\left[i\right], K=F[\sqrt{2}]$ . Рассмотрим $K$ как векторное пространство над $F$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\operatorname {dim}_{F} K=2$ ;

(б)

функция $f\left(z_{1}+z_{2} \sqrt{2}, t_{1}+t_{2} \sqrt{2}\right)=z_{1} \bar{t}_{1}+2 z_{2} \bar{t}_{2}$ , где черта означает комплексное сопряжение, является полуторалинейной функцией в $K$ как векторном пространстве над $F$ ;

(в)

найти матрицу $f$ в базисе $e_{1}=1, e_{2}=\sqrt{2}$ ;

(г)

доказать, что функция $f$ невырождена;

(д)

найти левое и правое ортогональные дополнения к $F$ в $K$ относительно $f$ .

Задача 37.20

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

Пусть $F=\mathbb {C}(x)$ — поле рациональных функций с автоморфизмом, при котором $x \rightarrow \varepsilon x^{\tau }$ , где $\varepsilon , \tau = \pm 1,(\varepsilon , \tau ) \neq (1,1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Доказать, что многочлен $y^{4}-x \in F[y]$ неприводим над $F$ .

(б)

Доказать, что в поле $K=F[y] /\left(y^{4}-x\right)$ как векторном пространстве над $F$ функция $f(u, v)=u(x, y) v\left(i x^{\tau }, y\right)+u(x, i y) v\left(\varepsilon x^{\tau }, i y\right)+$

+u(x,-y) v\left(\varepsilon x^{\tau },-y\right)+u(x,-i y) v\left(\varepsilon x^{\tau },-i y\right)

является полуторалинейной.

(в)

Найти матрицу $f(u, v)$ в базисе $1, y, y^{2}, y^{3}$ пространства $K$ над полем $F$ .

(г)

Доказать невырожденность функции $f$ .

(д)

Найти левое и правое ортогональные дополнения к линейной оболочке $\langle 1, y\rangle$ в $K$ .

(е)

Найти в $K$ такой базис $u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}$ , что $f\left(u_{i}, y^{j}\right)=\delta_{i j}$ , где $i, j=0,1,2,3$ .

Задача 37.21

(а)(б)(в)

При каких из следующих элементарных преобразований базиса матрица билинейной функции меняется так же, как матрица линейного оператора:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(e_{1}, \ldots , e_{i}, \ldots , e_{n}\right) \rightarrow \left(e_{1}, \ldots , \lambda e_{i}, \ldots , e_{n}\right)$ ;

(б)

$\left(e_{1}, \ldots , e_{i}, \ldots , e_{n}\right) \rightarrow \left(e_{1}, \ldots , e_{i}+\lambda e_{j}, \ldots , e_{n}\right) \quad (j \neq i)$ ;

(в)

$\left(e_{1}, \ldots , e_{i}, \ldots , e_{j}, \ldots , e_{n}\right) \rightarrow \left(e_{1}, \ldots , e_{j}, \ldots , e_{i}, \ldots , e_{n}\right)$ ?

Задача 37.22

Найти связь между матрицами $A, B, G$ линейных операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ и билинейной (полуторалинейной) функции $g$ в некотором базисе пространства и матрицей $F$ билинейной (полуторалинейной) функции

f(x, y)=g(\mathcal{A}(x), \mathcal{B}(y))

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.23

Доказать, что всякая билинейная (полуторалинейная) функция $f$ ранга 1 может быть представлена в виде произведения двух линейных функций $p(x) q(y)$ (соответственно $p(x) q(\bar{y})$ ). К какому простейшему виду можно привести матрицу функции $f$ с помошью замены базиса?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.24

Пусть $\mathbf{e}=\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right), \mathbf{e}^{\prime }=\left(e_{1}^{\prime }, \ldots , e_{n}^{\prime }\right)$ — два базиса пространства $V, C$ — матрица перехода от е к $\mathbf{e}^{\prime }, f$ — билинейная (полуторалинейная) функция на $V$ с матрицами $F$ и $F^{\prime }$ в этих базисах. Найти связь между матрицами $F, F^{\prime }$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.25

Доказать, что билинейные и полуторалинейные функции $\operatorname {tr}(A B), \operatorname {tr}\left(A^{t} B\right), \operatorname {tr}(A \bar{B}), \operatorname {tr}\left(A^{t} \bar{B}\right)$ на пространстве $\mathbf{M}_{n}(K)$ являются невырожденными.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.26

Доказать, что размерности левого и правого ядер билинейной (полуторалинейной) функции совпадают, однако сами ядра могут и не совпадать.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.27

Пусть $f$ — невырожденная билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве $V$ . Доказать, что для любой линейной функции $p$ найдется единственный вектор $v \in V$ такой, что $p(x)=f(x, v)$ для любого $x \in V$ , и отображение $p \mapsto v$ является изоморфизмом пространств $V^{*}$ и $V$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.28

(а)(б)(в)

Пусть $F$ — матрица невырожденной билинейной функции $f$ на вещественном пространстве размерности $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Доказать, что при нечётном $n$ матрица $-F$ не является матрицей функции $f$ ни в каком базисе пространства $V$ .

(б)

Верно ли утверждение а) для чётного $n$ ?

(в)

Верно ли утверждение а) при чётном $n$ для диагональной матрицы $F$ ?

Задача 37.29

(а)(б)(в)(г)

Пусть для ненулевой билинейной (полуторалинейной) функции $f$ на пространстве $V$ существует такое число $\varepsilon$ , что для любых $x, y \in V$

f(y, x)=\varepsilon f(x, y)

(соответственно $\overline{f(y, x)}=\varepsilon f(x, y)$ ). Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\varepsilon$ равно 1 или -1 ;

(б)

если $U_{1}$ и $U_{2}$ — вполне изотропные подпространства относительно $f$ , имеющие одинаковую размерность, и $U_{1} \cap U_{2}^{\perp }=0$ , то ограничение $f$ на их сумму $U_{1}+U_{2}$ — невырожденная функция;

(в)

если $W_{1}$ и $W_{2}$ — максимальные вполне изотропные подпространства относительно $f$ и $W_{1} \cap W_{2}=0$ , то $\operatorname {dim} W_{1}=\operatorname {dim} W_{2}$ ;

(г)

если невырожденные билинейные функции $f_{1}$ и $f_{2}$ удовлетворяют рассматриваемому условию (при одном и том же $\varepsilon$ ) и относительно каждой из них $V$ является прямой суммой двух изотропных подпространств, то функции $f_{1}$ и $f_{2}$ эквивалентны.

Задача 37.30

(а)(б)

Пусть $f$ — билинейная (полуторалинейная) функция на пространстве $V$ и для любых $x, y \in V$ из равенства $f(x, y)=0$ вытекает $f(y, x)=0$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $f$ — билинейная функция, то $f$ — симметричная или кососимметричная функция;

(б)

если $f$ — полуторалинейная функция, то $f$ — либо эрмитова, либо косоэрмитова функция.

Задача 37.31

(а)(б)

Пусть $f_{1}, f_{2}$ — билинейные (полуторалинейные) функции на пространстве $V$ с базисом $\left(e_{1}, \ldots , e_{n}\right)$ . На пространстве $W$ с базисом $\left(a_{11}, a_{12}, \ldots , a_{1 n}, a_{21}, \ldots , a_{2 n}, \ldots , a_{n 1}, \ldots , a_{n n}\right)$ определим билинейную функцию $f$ , положив

f\left(a_{i j}, a_{k l}\right)=f_{1}\left(e_{i}, e_{k}\right) f_{2}\left(e_{j}, e_{l}\right)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Найти матрицу функции $f$ в заданном базисе.

(б)

Доказать, что если пространство $V$ является прямой суммой вполне изотропных подпространств относительно $f_{1}$ , то $W$ является прямой суммой вполне изотропных подпространств относительно $f$ .

Задача 37.32

(а)(б)

Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f_{1}(x, y)=2 x_{1} y_{2}-3 x_{1} y_{3}+x_{2} y_{3}-2 x_{2} y_{1}-x_{3} y_{2}+3 x_{3} y_{1}$ , $f_{2}(x, y)=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+2 x_{2} y_{2}+3 x_{1} y_{3}-3 x_{3} y_{1}$ ;

(б)

$f_{1}(x, y)=x_{1} y_{1}+i x_{1} y_{2}$ , $f_{2}(x, y)=2 x_{1} y_{1}+(1+i) x_{1} y_{2}+(1-i) x_{2} y_{1}-i x_{2} y_{2}$ .

Задача 37.33

(а)(б)(в)(г)

Привести к каноническому виду кососимметрические билинейные функции:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{1} y_{2}-x_{1} y_{3}-x_{2} y_{1}+2 x_{2} y_{3}+x_{3} y_{1}-2 x_{3} y_{2}$ ;

(б)

$2 x_{1} y_{2}+x_{1} y_{3}-2 x_{2} y_{1}+3 x_{2} y_{3}-x_{3} y_{1}-3 x_{3} y_{2}$ ;

(в)

$x_{1} y_{2}+x_{4} y_{3}-x_{2} y_{1}+2 x_{2} y_{3}-2 x_{3} y_{2}+3 x_{3} y_{4}-x_{1} y_{4}-3 x_{4} y_{3}$ ;

(г)

$x_{1} y_{2}+x_{1} y_{3}+x_{1} y_{4}-x_{2} y_{1}-x_{2} y_{3}+x_{3} y_{2}+x_{3} y_{4}-x_{4} y_{1}-x_{4} y_{3}$ .

Задача 37.34

(а)(б)

Привести к каноническому виду косоэрмитову функцию в комплексном пространстве:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{1} \bar{y}_{2}-i x_{1} \bar{y}_{3}-i x_{2} \bar{y}_{3}-\bar{x}_{1} y_{2}+i \bar{x}_{1} y_{3}+i \bar{x}_{2} y_{3}+i x_{1} \bar{y}_{1}-i \bar{x}_{1} y_{1}$ ;

(б)

$(1+i) x_{1} \bar{y}_{2}+2 x_{1} \bar{y}_{3}+i x_{1} \bar{y}_{4}-(1-i) x_{2} \bar{y}_{3}-(1-i) \bar{x}_{1} y_{3}+i \bar{x}_{1} y_{4}+(1+i) \bar{x}_{2} y_{3}+2 i x_{2} \bar{y}_{2}-2 \bar{x}_{1} y_{3}$ .

Задача 37.35

Доказать, что функция $h(f, g)=\int_{0}^{1} f g^{\prime } d x$ на пространстве многочленов степени $\leqslant 5$ , обращающихся в нуль в точках 0 и 1, является кососимметрической, и найти для нее канонический базис.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.36

Доказать, что определитель целочисленной кососимметрической матрицы является квадратом целого числа.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.37

Пусть $f$ — кососимметрическая билинейная функция на пространстве $V, W$ — подпространство в $V, W^{\perp }$ — его ортогональное дополнение относительно $f$ . Доказать, что $\operatorname {dim} W-\operatorname {dim}\left(W \cap W^{\perp }\right)$ — чётное число.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.38

Доказать, что для любой косоэрмитовой комплексной матрицы $A$ существует такая невырожденная матрица $C$ , что $C A^{t} \bar{C}$ — диагональная матрица, причём по главной диагонали стоят чисто мнимые комплексные числа.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.39

Пусть $f$ — кососимметрическая билинейная функция на пространстве $V, V^{\prime }$ — её ядро, $W$ — максимальное вполне изотропное подпространство. Доказать равенство

\operatorname {dim} W=\frac{\operatorname {dim} V+\operatorname {dim} V^{\prime }}{2}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.40

Пусть $f$ — невырожденная кососимметрическая билинейная функция на $n$ -мерном пространстве $V, G=\left(g_{i j}\right)$ — кососимметрическая матрица порядка $n$ . Доказать, что существуют векторы $v_{1}, \ldots , v_{n} \in V$ такие, что $g_{i j}=f\left(v_{i}, v_{j}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.41

Пусть $f(x, y)$ — эрмитова функция в комплексном пространстве, $q(x)=f(x, x)$ . Доказать равенство

4 f(x, y)=q(x+y)-q(x-y)+i q(x+i y)-i q(x-i y)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.42

Доказать, что вещественная и мнимая части эрмитовой функции на комплексном векторном пространстве $V$ являются соответственно симметрической и кососимметрической функциями на $V$ , рассматриваемом как $2 n$ -мерное вещественное векторное пространство.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.43

Доказать, что если $f$ — положительно определенная эрмитова форма на комплексном пространстве, то

f(x, y) \overline{f(x, y)} \leqslant f(x, x) \cdot f(y, y)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.44

Пусть $\mathcal{A}$ — линейный оператор, $f$ — положительно определённая эрмитова функция на комплексном векторном пространстве $V$ . Доказать, что если $f(\mathcal{A}(x), x)=0$ для любого $x \in V$ , то $\mathcal{A}$ нулевой оператор.

Верно ли это утверждение для симметрических билинейных функций на вещественном пространстве $V$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 37.45

(а)(б)

Для каких значений $n$ невырожденная билинейная функция на $n$ -мерном векторном пространстве может обладать:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

вполне изотропным подпространством размерности $n-1$ ;

(б)

вполне изотропным подпространством размерности $n-2$ ?

Вывести формулу для максимально возможной размерности вполне изотропного подпространства.

Задача 37.46

(а)(б)

Пусть $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ — симметрическая матрица и

L(f)=\sum _{i, j=1}^{n} a_{i j} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}

— дифференциальный оператор в $\mathbb {R}\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ .

Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если

C\left[\begin{smallmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{smallmatrix}\right], \quad C \in \mathbf{G L}_{n}(\mathbb {R})

— замена переменных, то

L(f)=\sum _{i, j=1}^{n} b_{i j} \frac{\partial ^{2} f}{\partial y_{i} \partial y_{j}},

где $\left(b_{i j}\right)=C A^{t} C$ ;

(б)

существует такая невырожденная линейная замена переменных в $\mathbb {R}\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$ , что относительно новых переменных $y_{1}, \ldots , y_{k}$

L(f)=\frac{\partial ^{2} f}{\partial y_{1}^{2}}+\ldots +\frac{\partial ^{2} f}{\partial y_{k}^{2}}-\frac{\partial ^{2} f}{\partial y_{k+1}^{2}}-\ldots -\frac{\partial ^{2} f}{\partial y_{s}^{2}}

где $0 \leqslant k \leqslant s \leqslant n$ .

38 · Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции[35/63%]

Задача 38.1

Какие из билинейных функций задачи 37.1 являются симметрическими?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.2

(а)(б)(в)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Какие из полуторалинейных функций задачи 37.5 являются эрмитовыми?

(б)

Является ли функция $f(x, y)$ из 37.18, б) эрмитовой?

(в)

Является ли функция $f(u, v)$ из 37.20, б) эрмитовой?

Задача 38.3

Не производя вычислений, выяснить, эквивалентны ли билинейные функции $f_{1}(x, y)=x_{1} y_{1}+2 x_{1} y_{2}+3 x_{1} y_{3}+4 x_{2} y_{1}+5 x_{2} y_{2}+6 x_{2} y_{3}+7 x_{3} y_{1}+8 x_{3} y_{2}+10 x_{3} y_{3}$ , $f_{2}(x, y)=2 x_{1} y_{1}-x_{1} y_{3}+x_{2} y_{2}-x_{3} y_{1}+5 x_{3} y_{3}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.4

(а)(б)

Не производя вычислений, выяснить, для какой из билинейных функций $f$ существует базис, в котором матрица этой функции диагональна:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$-x_{1} y_{1}-2 x_{1} y_{2}-2 x_{2} y_{1}-3 x_{2} y_{2}+x_{3} y_{1}-4 x_{3} y_{3}$ ;

(б)

$-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+3 x_{2} y_{2}+5 x_{2} y_{3}+5 x_{3} y_{2}-x_{3} y_{3}$ .

Задача 38.5

(а)(б)(в)

Доказать, что для ортогональных дополнений к пространствам относительно невырожденной симметричной (эрмитовой) функции справедливы равенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U$ ;

(б)

$\left(U_{1}+U_{2}\right)^{\perp }=U_{1}^{\perp } \cap U_{2}^{\perp }$ ;

(в)

$\left(U_{1} \cap U_{2}\right)^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }$ .

Задача 38.6

(а)(б)

Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке $\left\langle f_{1}, f_{2}\right\rangle$ относительно билинейной функции с матрицей $F$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$F=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & -3 \\ 2 & -3 & 7\end{array}\right), \quad f_{1}=(1,2,3), \quad f_{2}=(4,5,6) ;$

(б)

$F=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 5 \\ 2 & 2 & 8 \\ 5 & 8 & 29\end{array}\right), \quad f_{1}=(-3,-15,21) ; \quad f_{2}=(2,10,-14)$ .

Задача 38.7

(а)(б)

Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке $\left\langle e_{1}, e_{2}\right\rangle$ относительно эрмитовой функции с матрицей $G$ , если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$G=\left(\begin{array}{ccc}1 & i & 1-i \\ -i & 0 & -2 \\ 1+i & -2 & -2\end{array}\right), \quad \begin{aligned} & e_{1}=(i, 1,-1), \\ & e_{2}=(1-2 i,-i, 3) ;\end{aligned}$

(б)

$G=\left(\begin{array}{ccc}0 & -2+i & -i \\ -2-i & 2 & -1+i \\ i & -1-i & -1\end{array}\right), \quad \begin{array}{ll}e_{1} & =(-i+1,2,0), \\ e_{2} & =(-1+3 i,-3 i, 2).\end{array}$

Задача 38.8

(а)(б)

Методом Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$2 x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}+x_{1} y_{3}-x_{2} y_{1}+x_{3} y_{1}+3 x_{3} y_{3}$ ;

(б)

$2 x_{1} y_{2}+3 x_{1} y_{3}+2 x_{2} y_{1}-x_{2} y_{3}+3 x_{3} y_{1}-x_{3} y_{2}+x_{3} y_{3}$ .

Задача 38.9

(а)(б)

Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций с матрицами

\left[\begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & -1 & 3 \end{smallmatrix}\right], \quad \left[\begin{smallmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{smallmatrix}\right]:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

над полем вещественных чисел;

(б)

над полем рациональных чисел.

Задача 38.10

Какие из симметрических билинейных функций задач 37.1 и 37.5 являются положительно определёнными?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.11

(а)(б)(в)(г)(д)(е)

При каких значениях $\lambda$ следующие квадратичные функции являются положительно определёнными:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\lambda x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ;

(б)

$2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ;

(в)

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ;

(г)

$x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}+10 x_{1} x_{3}+6 x_{2} x_{3}$ ;

(д)

$x_{1} \bar{x}_{1}+i x_{1} \bar{x}_{2}-i x_{2} \bar{x}_{1}+\lambda x_{2} \bar{x}_{2}$ ;

(е)

$2 x_{1} \bar{x}_{1}-(1-i) x_{1} \bar{x}_{3}-(1+i) \bar{x}_{1} x_{3}+2 \lambda x_{2} \bar{x}_{3}+2 \bar{\lambda } \bar{x}_{2} x_{3}+x_{2} \bar{x}_{2}+5 x_{3} \bar{x}_{3}$ ?

Задача 38.12

Доказать, что для любой положительно определённой симметрической билинейной (эрмитовой) функции $f$ выполнено неравенство

\sqrt{f(x+y, x+y)} \leqslant \sqrt{f(x, x)}+\sqrt{f(y, y)}

причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\alpha x=\beta y$ , где $\alpha , \beta$ — неотрицательные вещественные числа, не равные нулю одновременно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.13

Не применяя критерия Сильвестра, доказать, что для положительной определенности квадратичной функции $\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} \bar{x}_{j}$ условие $a_{i i}>0(i=1, \ldots , n)$ является необходимым, но не достаточным.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.14

(а)(б)(в)(г)

При каких значениях $\lambda$ являются отрицательно определёнными квадратичные функции:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$-x_{1}^{2}+\lambda x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+8 x_{2} x_{3}$ ;

(б)

$\lambda x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ;

(в)

$\lambda x_{1} \bar{x}_{1}+3 x_{2} \bar{x}_{2}-i x_{1} \bar{x}_{2}+i \bar{x}_{1} x_{2}$ ;

(г)

$4 x_{1} \bar{x}_{1}-2 x_{2} \bar{x}_{2}-(\lambda +i) x_{1} \bar{x}_{2}-(\bar{\lambda }-i) \bar{x}_{1} x_{2}$ ?

Задача 38.15

(а)(б)(в)(г)

Найти симметрическую билинейную (эрмитову) функцию, ассоциированную с квадратичной функцией:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{1}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{2}^{2}-6 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}-x_{3}^{2}$ ;

(б)

$x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ ;

(в)

$x_{1} \bar{x}_{1}+i x_{1} \bar{x}_{2}-i \bar{x}_{1} x_{2}+2 x_{2} \bar{x}_{2}$ ;

(г)

$(5-i) x_{1} \bar{x}_{2}+(6+i) \bar{x}_{1} x_{2}+x_{2} \bar{x}_{2}$ .

Задача 38.16

(а)(б)

Найти симметрическую билинейную функцию, ассоциированную с квадратичной функцией $q(x)=f(x, x)$ , где:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x, y)=2 x_{1} y_{1}-3 x_{1} y_{2}-4 x_{1} y_{3}+x_{2} y_{1}-5 x_{2} y_{3}+x_{3} y_{3}$ ;

(б)

$f(x, y)=-x_{1} y_{2}+x_{2} y_{1}-2 x_{2} y_{2}+3 x_{2} y_{3}-x_{3} y_{1}+2 x_{3} y_{3}$ .

Задача 38.17

(а)(б)

Эквивалентны ли над полем вещественных чисел квадратичные функции:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2} \quad$ и $\quad x_{1}^{2}-4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ;

(б)

$2 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+8 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-10 x_{2} x_{3} \quad$ и $2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+6 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}?$

Задача 38.18

(а)(б)(в)(г)(д)(е)(ж)(з)(и)(к)(л)(м)

Найти нормальный вид квадратичных функций:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ;

(б)

$x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ ;

(в)

$x_{1}^{2}-3 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ ;

(г)

$x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{1} x_{4}+x_{2} x_{3}+x_{2} x_{4}+x_{3} x_{4}$ ;

(д)

$x_{1} \bar{x}_{1}-i x_{1} \bar{x}_{2}+i \bar{x}_{1} x_{2}+2 x_{2} \bar{x}_{2}$ ;

(е)

$(1-i) x_{1} \bar{x}_{2}+(1+i) \bar{x}_{1} x_{2}+(1-2 i) x_{1} \bar{x}_{3}+(1+2 i) \bar{x}_{1} x_{3}+x_{2} \bar{x}_{3}+\bar{x}_{2} x_{3}$ ;

(ж)

$\sum_{i, j=1}^{n} a_{i} a_{j} x_{i} x_{j}$ , где не все числа $a_{1}, \ldots , a_{n}$ равны $0 ;$

(з)

$\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}$ ;

(и)

$\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}$ ;

(к)

$\sum_{i=1}^{n-1} x_{i} x_{i+1}$ ;

(л)

$\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-s\right)^{2}, \quad s=\frac{x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}$ ;

(м)

$\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left|i-j\right| x_{i} x_{j}$ .

Задача 38.19

(а)(б)

Эквивалентны ли над полем комплексных чисел квадратичные функции:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}+x_{2}^{2}+2 x_{2} x_{3}-4 x_{2} x_{4}+x_{3}^{2}-2 x_{4}^{2}$ и $x_{1}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}$ ;

(б)

$x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}$ и $x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ ?

Задача 38.20

Пусть $q$ — отображение вещественного векторного пространства $V$ в поле $\mathbb {R}$ , для которого существуют такие квадратичные функции $a, b$ и билинейная функция $c$ , что

q(\lambda x+\mu y)=\lambda ^{2} a(x)+\lambda \mu c(x, y)+\mu ^{2} b(y)

для любых $\lambda , \mu \in \mathbb {R}$ и $x, y \in V$ . Доказать, что $q$ — квадратичная функция.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.21

Пусть $f_{1}, \ldots , f_{r+s}$ — линейные функции. Доказать, что положительный индекс инерции функции

q(x)=\left|f_{1}(x)\right|^{2}+\ldots +\left|f_{r}(x)\right|^{2}-\left|f_{r+1}(x)\right|^{2}-\ldots -\left|f_{r+s}(x)\right|^{2}

не превосходит $r$ , а отрицательный индекс не превосходит $s$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.22

(а)(б)

Найти положительный и отрицательный индексы инерции:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

квадратичной функции $q(x)=\operatorname {tr} x^{2}$ на пространстве $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ ;

(б)

квадратичной функции $q(x)=\operatorname {tr}(x \bar{x})$ на пространстве $\mathbf{M}_{n}(\mathbb {C})$ .

Задача 38.23

Пусть $f$ — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве $V$ размерности $\geqslant 3$ . Доказать, что если функция $f$ не является нулевой на двумерном подпространстве $U$ , то существует такое трехмерное подпространство $W \supseteq U$ , на котором ограничение функции $f$ невырождено.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.24

Пусть $f$ — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция, имеющая отрицательный индекс инерции, равный 1, и $f(v, v)<0$ для некоторого вектора $v$ . Доказать, что ограничение $f$ на любое подпространство, содержащее $v$ , невырождено.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.25

Пусть $f$ — невырожденная симметрическая билинейная (эрмитова) функция на пространстве размерности $\geqslant 3$ . Доказать, что всякий изотропный вектор лежит в пересечении двух двумерных подпространств, на каждом из которых ограничение функции $f$ невырождено.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.26

Доказать, что размерность максимального изотропного подпространства относительно невырожденной симметрической билинейной (эрмитовой) функции равна наименьшему из её положительного и отрицательного индексов инерции.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.27

Найти положительный и отрицательный индексы инерции невырожденной квадратичной функции на $2 n$ -мерном векторном пространстве, обладающем $n$ -мерным вполне изотропным подпространством.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.28

(а)(б)

Пусть невырожденная квадратичная функция $q$ на $2 n$ -мерном пространстве $V$ является нулевой на $n$ -мерном подпространстве $U$ . Доказать, что:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

существует такое $n$ -мерное подпространство $U^{\prime }$ , что

V=U \oplus U^{\prime }, \quad q\left(U^{\prime }\right)=0

(б)

в некотором базисе функция $q$ имеет вид

x_{1} x_{2}+x_{3} x_{4}+\ldots +x_{2 n-1} x_{2 n}

Задача 38.29

Доказать, что если в симметрической матрице некоторый главный минор порядка $r$ отличен от нуля, а все окаймляющие его главные миноры порядков $r+1$ и $r+2$ равны нулю, то ранг этой матрицы равен $r$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.30

Доказать, что вещественная симметрическая (комплексная эрмитова) матрица $A$ может быть представлена в виде $A={ }^{t} C \cdot C$ (соответственно $A={ }^{t} C \cdot \bar{C}$ ), где $C$ — квадратная матрица, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы $A$ неотрицательны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.31

Найти размерность пространства симметрических билинейных функций от $n$ переменных.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.32

Сопоставим каждому (неориентированному) графу $\Gamma$ с вершинами $v_{1}, \ldots , v_{n}$ квадратичную функцию

q_{\Gamma }(x)=\sum _{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}

положив

a_{i j}=\left\{ \begin{aligned} 2, & \text{ если } i=j, \\ -1, & \text{ если } v_{i} \text{ и } v_{j} \text{ соединены ребром, } \\ 0, & \text{ если } v_{i} \text{ и } v_{j} \text{ не соединены ребром, } \end{aligned}\right\}

и рассмотрим графы

(число вершин графа $\Gamma_{n}$ равно $n$ , графа $\widetilde{\Gamma }_{n}$ равно $n+1$ ). Доказать, для графов $\Gamma_{n}$ функция $q_{\Gamma }$ положительно определена, а для графов $\widetilde{\Gamma }_{n}$ положительно полуопределена: $q_{\Gamma }(x) \geqslant 0$ для любого $x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.33

Пусть $q$ — невырожденная квадратичная функция на пространстве $V$ над произвольным полем $F$ . Доказать, что если существует ненулевой вектор $x \in V$ , для которого $q(x)=0$ , то отображение $q: V \rightarrow F$ сюръективно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.34

Пусть $f(x, y)$ — эрмитова неотрицательно определённая функция, причём $f(z, z)=0$ для некоторого $z \neq 0$ . Доказать, что $f(z, t)=0$ для всех $t$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача 38.35

Пусть $f(x, y)$ — положительно определённая эрмитова функция, причём $f(x, x)=f(y, y)=1$ для некоторого $x, y \neq 0$ . Доказать, что $\left|f(x, y)\right| \leqslant 1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику