32

Результант и дискриминант

[17/100%]
Показать
LaTeX
Задача 32.1

Вычислить результант многочленов:

?
(а)

x3−3x2+2x+1x^{3}-3 x^{2}+2 x+1 \quad и 2x2−x−1\quad 2 x^{2}-x-1;

(б)

2x3−3x2+2x+12 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1 и x2+x+3x^{2}+x+3;

(в)

2x3−3x2−x+22 x^{3}-3 x^{2}-x+2 \quad и x4−2x2−3x+4\quad x^{4}-2 x^{2}-3 x+4;

(г)

3x3+2x2+x+13 x^{3}+2 x^{2}+x+1 \quad и 2x3+x2−x−1\quad 2 x^{3}+x^{2}-x-1;

(д)

2x4−x3+32 x^{4}-x^{3}+3 и 3x3−x2+43 x^{3}-x^{2}+4.

Задача 32.2

Найти все значения λ\lambda, при которых имеют общий корень многочлены:

?
(а)

x3−λx+2x^{3}-\lambda x+2 и x2+λx+2x^{2}+\lambda x+2;

(б)

x3+λx2−9x^{3}+\lambda x^{2}-9 и x3+λx−3x^{3}+\lambda x-3;

(в)

x3−2λx+λ3xx^{3}-2 \lambda x+\lambda^{3} x \quad и x2+λ2−2\quad x^{2}+\lambda^{2}-2.

Задача 32.3

Исключить xx из системы уравнений:

?
(а)

{x2−xy+y2=3,x2y+xy2=6;\begin{cases} x^{2}-x y+y^{2}=3, \\ x^{2} y+x y^{2}=6 ; \end{cases}

(б)

{x3−xy−y3+y=0,x2+x−y2=1;\begin{cases} x^{3}-x y-y^{3}+y=0, \\ x^{2}+x-y^{2}=1 ; \end{cases}

(в)

{y2−7xy+4x2+13x−2y−3=0,y2−14xy+9x2+28x−4y−5=0;\begin{cases} y^{2}-7 x y+4 x^{2}+13 x-2 y-3=0, \\ y^{2}-14 x y+9 x^{2}+28 x-4 y-5=0 ; \end{cases}

(г)

{y2+x2−y−3x=0,y2−6xy−x2+11y+7x−12=0;\begin{cases} y^{2}+x^{2}-y-3 x=0, \\ y^{2}-6 x y-x^{2}+11 y+7 x-12=0 ; \end{cases}

(д)

{5y2−6xy+5x2−16=0,y2−xy+2x2−y−x−4=0.\begin{cases} 5 y^{2}-6 x y+5 x^{2}-16=0, \\ y^{2}-x y+2 x^{2}-y-x-4=0. \end{cases}

Задача 32.4

Доказать, что R(f,g1g2)=R(f,g1)R(f,g2)R\left(f, g_{1} g_{2}\right)=R\left(f, g_{1}\right) R\left(f, g_{2}\right).

?
Задача 32.5

Найти результант многочленов Φn\Phi_{n} и xm−1x^{m}-1.

?
Задача 32.6

Найти результант многочленов Φn\Phi_{n} и Φm\Phi_{m}.

?
Задача 32.7

Вычислить дискриминант многочленов:

?
(а)

ax2+bx+ca x^{2}+b x+c;

(б)

x3+px+qx^{3}+p x+q;

(в)

x3+a1x2+a2x+a3x^{3}+a_{1} x^{2}+a_{2} x+a_{3};

(г)

2x4−x3−4x2+x+12 x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+x+1;

(д)

x4−x3−3x2+x+1x^{4}-x^{3}-3 x^{2}+x+1.

Задача 32.8

Найти все значения λ\lambda, при которых имеют кратный корень многочлены:

?
(а)

x3−3x+λx^{3}-3 x+\lambda;

(б)

x4−4x+λx^{4}-4 x+\lambda;

(в)

x3−8x2+(13−λ)x−(6+2λ)x^{3}-8 x^{2}+(13-\lambda ) x-(6+2 \lambda );

(г)

x4−4x3+(2−λ)x+2x−2x^{4}-4 x^{3}+(2-\lambda ) x+2 x-2.

Задача 32.9

Доказать, что

D[(x−a)f(x)]=D[f(x)]⋅f(a)2. D[(x-a) f(x)]=D[f(x)] \cdot f(a)^{2}.
?
Задача 32.10

Вычислить дискриминант многочлена xn−1+xn−2+…+1x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +1.

?
Задача 32.11

Вычислить дискриминант многочлена Φn(x)\Phi_{n}(x).

?
Задача 32.12

Вычислить дискриминант многочлена

1+x1!+x22!+…+xnn!. 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}.
?
Задача 32.13

Пусть ff и gg — неприводимые многочлены. Доказать, что

D(fg)=D(f)D(g)[R(f,g)]2 D(f g)=D(f) D(g)[R(f, g)]^{2}
?
Задача 32.14

Пусть j,kj, k — натуральные числа и d=(j,k)d=(j, k). Доказать, что

R(xj−aj,xk−bk)=(−1)j(bjkd−1−ajkd−1)d. R\left(x^{j}-a^{j}, x^{k}-b^{k}\right)=(-1)^{j}\left(b^{j k d^{-1}}-a^{j k d^{-1}}\right)^{d}.
?
Задача 32.15

Пусть n>k>0n>k>0 и d=(n,k)d=(n, k). Доказать, что

D(xn+axk+b)=(−1)n(n−1)2−1bk−1××[nnd−1b(n−k)d−1−(−1)nd−1(n−k)(n−k)d−1kkd−1and−1]. \begin{aligned} D\left(x^{n}+a x^{k}+\right. & b)=(-1)^{n(n-1) 2^{-1}} b^{k-1} \times \\ \times & {\left[n^{n d^{-1}} b^{(n-k) d^{-1}}-(-1)^{n d^{-1}}(n-k)^{(n-k) d^{-1}} k^{k d^{-1}} a^{n d^{-1}}\right]. } \end{aligned}
?
Задача 32.16

Вычислить дискриминант многочлена xn+ax^{n}+a.

?
Задача 32.17

Вычислить дискриминант:

?
(а)

многочленов Эрмита Pn(x)=(−1)nex2/2dndxn(e−x2/2)P_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x^{2} / 2} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(e^{-x^{2} / 2}\right);

(б)

многочленов Лагерра Pn(x)=(−1)nexdndxn(xne−x)P_{n}(x)=(-1)^{n} e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{n} e^{-x}\right);

(в)

многочленов Чебышёва 2cos⁡(narccos⁡x2)2 \cos \left(n \arccos \frac{x}{2}\right).