Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями

Доказать, что если несократимая рациональная дробь $p / q$ является корнем многочлена $f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\ldots +a_{n-1} x+a_{n}$ с целыми коэффициентами, то:

Найти все рациональные корни многочленов:

Доказать, что многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если $f(0), f(1)$ — нечётные числа.

Доказать, что многочлен, неприводимый над полем рациональных чисел, не может иметь кратных комплексных корней.

Многочлен с целыми коэффициентами называется примитивным, если его коэффициенты в совокупности просты. Доказать, что произведение примитивных многочленов является примитивным многочленом.

Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел, то он может быть разложен в произведение двух многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами.

Пусть многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами принимает значения $\pm 1$ при двух целых значениях $x_{1}, x_{2}$. Доказать, что $f(x)$ не имеет рациональных корней, если $\left|x_{1}-x_{2}\right|>2$. Если же $\left|x_{1}-x_{2}\right| \leqslant 2$, то рациональным корнем может быть только $\left(x_{1}+x_{2}\right) / 2$.

Пусть $f(x)$ многочлен с целыми коэффициентами и существует такое простое число $p$, что:

Доказать неприводимость над полем рациональных чисел многочленов:

Доказать, что многочлен $x^{n}-x-1$ при $n \geqslant 2$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Доказать, что многочлен $x^{n}+x+1$ неприводим над $\mathbb {Q}$, если $n \not\equiv 2(\bmod 3)$. Доказать, что при $n \equiv 2(\bmod 3)$ многочлен $x^{n}+x+1$ делится над $\mathbb {Z}$ на $x^{2}+x+1$.

Пусть $f(x)=x^{n} \pm x^{m} \pm 1$. Доказать, что либо $f(x)$ неприводим над $\mathbb {Q}$, либо корнем $f(x)$ является некоторой комплексный корень из 1.

Пусть $f(x)=x^{n} \pm x^{m} \pm x^{q} \pm 1$. Доказать, что либо $f(x)$ неприводим над $\mathbb {Q}$, либо корнем $f(x)$ является некоторый комплексный корень из 1.

Доказать, что всякий многочлен положительной степени с целыми коэффициентами имеет корень в поле $\mathbf{Z}_{p}$ для бесконечного множества простых чисел $p$.

Доказать, что если $\mathbb {F}_{q}$ — поле из $q$ элементов, то

Пусть $F$ — конечное поле. Доказать, что для всякого отображения $h: F^{n} \rightarrow F$ существует многочлен $f$ из кольца $F\left[x_{1}, \ldots , x_{n}\right]$, для которого $f\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)=h\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ для любых $a_{1}, \ldots , a_{n} \in F$.

Пусть $f(x)$ из 28.10 или 28.11, причём $f(x)$ имеет $q$ корней, являющихся комплексными корнями из 1. Доказать, что в $\mathbb {Q}\left[x\right]$ имеет место разложение $f(x)=g(x) h(x)$, где корнями $g(x)$ являются все корни из 1, а $h(x)$ — неприводимый над $\mathbb {Q}$ многочлен.

Доказать, что многочлен $f(x)=x^{n}+a x \pm 1, a \in \mathbb {Z}$, неприводим над $\mathbb {Q}$, если $\left|a\right| \geqslant 3$.

Доказать, что если многочлен $f(x)=x^{n} \pm 2 x \pm 1$ приводим над $\mathbb {Q}$, то $f(x)=g(x)(x \pm 1)$, где $g(x)$ неприводим над $\mathbb {Q}$.

Доказать, что многочлен $f(x)=x^{n}+g x^{p}+r \in \mathbb {Z}\left[x\right], 1 \leqslant p<n$, неприводим над $\mathbb {Q}$, если $\left|g\right|>1+\left|r\right|^{n-1}$ и $\left|r\right|$ не является $d$-й степенью для любого неединичного делителя $d$ числа $n$.

Многочлен $f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots +a_{0} \in \mathbb {Z}\left[x\right] \quad$ неприводим над $\mathbb {Q}$, если $\left|a_{n-1}\right|>1+\left|a_{0}\right|+\ldots +\left|a_{n-2}\right|$.

Найти:

Найти число неприводимых унитарных многочленов степеней 2 и 3 над полем из 9 элементов.

Доказать, что многочлен $\Phi_{d}(x)$ при $d$, делящем $p-1$, разлагается на линейные множители над $\mathbf{Z}_{p}$.

Пусть $f(x) \in \mathbf{Z}_{p}[x]$. Доказать, что многочлены $f(x)$, $f(x+1), \ldots , f(x+p-1)$ либо попарно различны, либо все совпадают.

Доказать, что при $a \in \mathbf{Z}_{p}^{*}$ многочлен $x^{p}-x-a$ неприводим над $\mathbf{Z}_{p}$.

Пусть $b$ — ненулевой элемент $\mathbf{Z}_{p}$. Доказать, что $x^{p}-x-b$ неприводим над $\mathbb {F}_{p}$ тогда и только тогда, когда $n$ не делится на $p$.

Доказать, что при $a \neq 1$ многочлен $x^{q}-a x-b$ имеет в $\mathbb {F}_{q}$ корень.

Доказать, что $x^{2 n}+x^{n}+1$ неприводим над $\mathbf{Z}_{2}$ тогда и только тогда, когда $n=3^{k}$ для некоторого $k \geqslant 0$.

Доказать, что $x^{4 n}+x^{n}+1$ неприводим над $\mathbf{Z}_{2}$ тогда и только тогда, когда $n=3^{k} 5^{m}$ для некоторых целых $k, m \geqslant 0$.

Найти все целые числа $a$, для которых все корни многочлена $x^{4}-14 x^{3}+61 x^{2}+84 x+a$ целые.

Пусть $I_{m}$ — число различных неприводимых многочленов степени $m$ со старшим коэффициентом 1 над конечным полем из $q$ элементов. Доказать, что в кольце степенных рядов $\mathbb {Q}\left[\left[z\right]\right]$

В условиях задачи 28.32 доказать, что $q^{k}$ равно сумме $m I_{m}$ для всех делителей $m$ числа $k$.

Пусть $I_{m}$ из 28.32. Доказать, что