Разложение на неприводимые множители над $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$

Разложить на линейные множители над полем комплексных чисел многочлены:

Разложить на линейные и квадратные множители над полем вещественных чисел многочлены:

Построить многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий:

Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий:

Доказать, что многочлен $x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}$ делится на $x^{2}+x+1$.

При каких $m, n, p$ многочлен $x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}$ делится на $x^{2}-x+1$?

При каких $m$ многочлен $(x+1)^{m}-x^{m}-1$ делится на $\left(x^{2}+x+1\right)^{2}?$

Найти наибольший общий делитель многочленов:

Доказать, что если $f\left(x^{n}\right)$ делится на $x-1$, то $f\left(x^{n}\right)$ делится на $x^{n}-1$.

Доказать, что если $a \neq 0$ и $f(x)$ делится на $(x-a)^{k}$, то $f\left(x^{n}\right)$ делится на $\left(x^{n}-a^{n}\right)^{k}$.

Если $F(x)=f_{1}\left(x^{3}\right)+x f_{2}\left(x^{3}\right)$ делится на $x^{2}+x+1$, то $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$ делятся на $x-1$.

Пусть значения многочлена $f(x)$ неотрицательны при всех $x \in \mathbb {R}$. Доказать, что $f(x)=f_{1}(x)^{2}+f_{2}(x)^{2}$ для некоторых $f_{1}(x)$, $f_{2}(x) \in \mathbb {R}\left[x\right]$.

Пусть $f, g$ — взаимно простые комплексные многочлены. Тогда максимум из степеней $f, g$ меньше числа различных корней многочлена $f g(f+g)$.

Пусть $f, g, h$ — попарно взаимно простые комплексные многочлены, причём $f^{n}+g^{n}=h^{n}$. Доказать, что $n \leqslant 2$.