Банк задач по математике

Задача 26.1

Разделить многочлен $f(x)$ с остатком на $x-x_{0}$ и вычислить значение $f\left(x_{0}\right)$ :

?

(а)

$f(x)=x^{4}-2 x^{3}+4 x^{2}-6 x+8, \quad x_{0}=1 ;$

(б)

$f(x)=2 x^{5}-5 x^{3}-8 x, \quad x_{0}=-3$ ;

(в)

$f(x)=3 x^{5}+x^{4}-19 x^{2}-13 x-10, \quad x_{0}=2$ ;

(г)

$f(x)=x^{4}-3 x^{3}-10 x^{2}+2 x+5, \quad x_{0}=-2$ ;

(д)

$f(x)=x^{5}, \quad x_{0}=1$ ;

(е)

$f(x)=x^{4}+2 x^{3}-3 x^{2}-4 x+1, \quad x_{0}=-1$ ;

(ж)

$f(x)=x^{4}-8 x^{3}+24 x^{2}-50 x+90, \quad x_{0}=2$ ;

(з)

$f(x)=x^{4}+2 i x^{3}-(1+i) x^{2}-3 x+7+i, \quad x_{0}=-i$ ;

(и)

$f(x)=x^{4}+(3-8 i) x^{3}-(21+18 i) x^{2}-(33-20 i) x+7+18 i$ , $x_{0}=-1+2 i$ .

Задача 26.2

(а)(б)(в)

Разложить многочлен $f(x)$ по степеням $x-x_{0}$ и найти значения его производных в точке $x_{0}$ :

?

(а)

$f(x)=x^{5}-4 x^{3}+6 x^{2}-8 x+10, \quad x_{0}=2$ ;

(б)

$f(x)=x^{4}-3 i x^{3}-4 x^{2}+5 i x-1, \quad x_{0}=1+2 i$ ;

(в)

$f(x)=x^{4}+4 x^{3}+6 x^{2}+10 x+20, \quad x_{0}=-2$ .

Задача 26.3

(а)(б)(в)(г)

Определить кратность корня $x_{0}$ многочлена $f(x)$ :

?

(а)

$f(x)=x^{5}-5 x^{4}+7 x^{3}-2 x^{2}+4 x-8, \quad x_{0}=2$ ;

(б)

$f(x)=x^{5}+7 x^{4}+16 x^{3}+8 x^{2}-16 x-16, \quad x_{0}=-2$ ;

(в)

$f(x)=3 x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-10 x-8, \quad x_{0}=-1$ ;

(г)

$f(x)=x^{5}-6 x^{4}+2 x^{3}+36 x^{2}-27 x-54, \quad x_{0}=3$ .

Задача 26.4

При каком значении $a$ многочлен $x^{5}-a x^{2}-a x+1$ имеет -1 корнем не ниже второй кратности?

?

Задача 26.5

При каких $a$ и $b$ многочлен $a x^{n+1}+b x^{n}+1$ делится на $(x-1)^{2}$ ?

?

Задача 26.6

При каких $a$ и $b$ многочлен $x^{5}+a x^{3}+b$ имеет двойной корень, отличный от нуля?

?

Задача 26.7

(а)(б)(в)

Доказать, что многочлены:

?

(а)

$x^{2 n}-n x^{n+1}+n x^{n-1}-1$ ;

(б)

$x^{2 n+1}-(2 n+1) x^{n+1}+(2 n+1) x^{n}-1$ ;

(в)

$(n-2 m) x^{n}-n x^{n-m}+n x^{m}-(n-2 m)$ ; имеют число 1 тройным корнем.

Задача 26.8

Доказать, что многочлен

1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}

не имеет кратных корней.

?

Задача 26.9

Доказать, что многочлен

a_{1} x^{n_{1}}+a_{2} x^{n_{2}}+\ldots +a_{k} x^{n_{k}}, \quad n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{k}

не имеет отличных от нуля корней кратности, большей $k-1$ .

?

Задача 26.10

Определить кратность корня $a$ многочлена

\frac{x-a}{2}\left[f^{\prime }(x)+f^{\prime }(a)\right]-f(x)+f(a)

где $f(x)$ — некоторый многочлен.

?

Задача 26.11

Доказать, что над полем нулевой характеристики многочлен $f(x)$ делится на свою производную в том и только том случае, если $f(x)=a_{0}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ .

?

Задача 26.12

Доказать, что если многочлен $f(x)$ степени $n$ не имеет кратных корней, то $\left[f^{\prime }(x)\right]^{2}-f(x) f^{\prime \prime }(x)$ не имеет корней кратности выше $n-1$ .

?

Задача 26.13

(а)(б)

Рассмотрим рекуррентное соотношение $u(n+k)=a_{0} u(n)+a_{1} u(n+1)+\ldots +a_{k-1} u(n+k-1), \quad k \neq 0, \quad a_{0} \neq 0$ . Положим $f(x)=x^{k}-a_{k-1} x^{k-1}-\ldots -a_{0}$ . Доказать, что:

?

(а)

функция $u(n)=n^{r} a^{n}, r \geqslant 0, a \neq 0$ , является решением рекуррентного соотношения тогда и только тогда, когда $a$ — корень $f(x)$ кратности, не меньшей $r+1$ ;

(б)

если $a_{1}, \ldots , a_{m}$ — все корни $f(x)$ кратности $s_{1}, \ldots , s_{m}$ , то произвольное решение $u(n)$ рекуррентного соотношения имеет вид

u(n)=\sum _{i=1}^{m} g_{i}(n) a_{i}^{n}

где $g_{i}(x)$ — многочлен степени не выше $s_{i}-1(i=1, \ldots , m)$ .

Задача 26.14

Пусть $f(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots +a_{k} x^{k}$ . Доказать, что ненулевое число $z$ является корнем кратности не меньше $r+1$ тогда и только тогда, когда

\begin{array}{r} a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{m} z^{m}+\ldots +a_{k} z^{k}=0, \\ a_{1} z+2 a_{2} z^{2}+\ldots +m a_{m} z^{m}+\ldots +k a_{k} z^{k}=0, \\ a_{1} z+2^{2} a_{2} z^{2}+\ldots +m^{2} a_{m} z^{m}+\ldots +k^{2} a_{k} z^{k}=0, \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{1} z+2^{r} a_{2} z^{2}+\ldots +m^{r} a_{m} z^{m}+\ldots +k^{r} a_{k} z^{k}=0. \end{array}

?

Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики