Банк задач по математике

Задача 19.1

Доказать, что $E_{i i}-E_{j j}=\left[E_{i j}, E_{j i}\right]$ при $i \neq j$ .

?

Задача 19.2

(а)(б)

Представить в виде произведения элементарных матриц матрицу:

?

(а)

$\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 4 & 5\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ .

Задача 19.3

(а)(б)(в)(г)

Используя свойства элементарных матриц, перемножить матрицы:

?

(а)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right) ;$

(б)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 19.4

Доказать следующие свойства операции транспонирования:

?

(а)

${ }^{t}(A+B)={ }^{t} A+{ }^{t} B$ ;

(б)

${ }^{t}(\lambda A)=\lambda^{t} A$ ;

(в)

${ }^{t}(A B)={ }^{t} B \cdot { }^{t} A$ ;

(г)

$\left({ }^{t} A\right)^{-1}={ }^{t}\left(A^{-1}\right)$ ;

(д)

${ }^{t}\left({ }^{t} A\right)=A$ .

Задача 19.5

Доказать, что всякая матрица может быть единственным образом представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.

?

Задача 19.6

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

если матрицы $A$ и $B$ ортогональны, то матрицы $A^{-1}$ и $A B$ также ортогональны;

(б)

если комплексные матрицы $A$ и $B$ унитарны, то матрицы $A^{-1}$ и $A B$ также унитарны.

Задача 19.7

(а)(б)

Доказать, что:

?

(а)

произведение двух симметрических или кососимметрических матриц является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны;

(б)

произведение симметрической и кососимметрической матриц является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда эти матрицы перестановочны.

Задача 19.8

При каком условии произведение двух эрмитовых или косоэрмитовых матриц является эрмитовой матрицей?

?

Задача 19.9

Доказать, что для любой квадратной комплексной матрицы $X$ существует матрица $Y$ такая, что $X Y X=X, Y X Y=Y$ , и матрицы $X Y$ и $Y X$ эрмитовы.

?

Задача 19.10

Доказать, что матрица, обратная к симметрической или кососимметрической, является симметрической или кососимметрической.

?

Задача 19.11

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ обе симметрические или кососимметрические, то их коммутатор $[A, B]$ — кососимметрическая матрица.

?

Задача 19.12

Верно ли, что всякая кососимметрическая матрица является суммой коммутаторов кососимметрических матриц?

?

Задача 19.13

Найти все симметрические ортогональные и кососимметрические ортогональные матрицы порядка 2.

?

Задача 19.14

Найти все нижние нильтреугольные матрицы, коммутирующие со всеми нижними нильтреугольными матрицами того же порядка.

?

Задача 19.15

Доказать, что сумма двух коммутирующих нильпотентных матриц является нильпотентной матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют?

?

Задача 19.16

Доказать, что если матрицы $A, B$ и $[A, B]$ нильпотентные и матрицы $A$ и $B$ коммутируют с матрицей $[A, B]$ , то матрица $A+B$ нильпотентна.

?

Задача 19.17

Доказать, что если матрица $A$ порядка 2 нильпотентна, то $A^{2}=0$ .

?

Задача 19.18

Доказать, что всякая нижняя нильтреугольная матрица нильпотентна.

?

Задача 19.19

Доказать, что если матрица $A$ нильпотентна, то матрицы $E-A$ и $E+A$ обратимы.

?

Задача 19.20

Доказать, что если матрица $A$ нильпотентна и многочлен $f(t)$ имеет свободный член, отличный от 0, то матрица $f(A)$ обратима.

?

Задача 19.21

Решить уравнение $A X+X+A=0$ , где $A$ — нильпотентная матрица.

?

Задача 19.22

Доказать, что нильпотентная матрица порядка 2 имеет нулевой след.

?

Задача 19.23

Доказать, что произведение двух коммутирующих периодических матриц является периодической матрицей. Верно ли это утверждение, если матрицы не коммутируют?

?

Задача 19.24

Доказать, что матрица $C A C^{-1}$ является нильпотентной или периодической тогда и только тогда, когда матрица $A$ является нильпотентной или периодической.

?

Задача 19.25

(а)(б)(в)

Пусть $\sigma$ — перестановка на множестве $\left\{ 1,2, \ldots , n\right\}$ и $A_{\sigma }=\left(\delta_{i \sigma (j)}\right)\left(\delta_{i j}\right.$ — символ Кронекера). Доказать, что:

?

(а)

матрица $A_{\sigma }$ периодическая;

(б)

для любых перестановок $\sigma$ и $\tau A_{\sigma \tau }=A_{\sigma } A_{\tau }$ ;

(в)

$A_{\sigma }$ может быть представлена в виде произведения не более чем $n-1$ элементарных матриц.

Задача 19.26

Доказать, что произведение верхнетреугольных матриц является верхнетреугольной матрицей.

?

Задача 19.27

Доказать, что матрица, обратная к унитреугольной, является унитреугольной.

?

Задача 19.28

Пусть $A, B, C, D$ — квадратные комплексные матрицы размера $n$ , причём $C D=D C$ . Доказать, что

\operatorname {det}\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right] \neq 0 \Longleftrightarrow \operatorname {det}(A D-B C) \neq 0

?

Матрицы специального вида