18

Матричные уравнения. Обратная матрица

[24/83%]
Показать
LaTeX
Задача 18.1

Решить систему матричных уравнений:

?
(а)

X+Y=(1101),2X+3Y=(1001);X+Y=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right), \quad 2 X+3 Y=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) ;

(б)

2X−Y=(01−10),−4X+2Y=(0−220)2 X-Y=\left(\begin{array}{rr}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), \quad -4 X+2 Y=\left(\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right).

Задача 18.2

Доказать, что квадратная матрица XX порядка 2 является решением уравнения

X2−(tr⁡X)X+det⁡X=0 X^{2}-(\operatorname {tr} X) X+\operatorname {det} X=0
?
Задача 18.3

Решить матричные уравнения

?
(а)

(1312)X=(1111)\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right);

(б)

X(−113−4)=(−2−134)X\left(\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 3 & -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2 & -1 \\ 3 & 4\end{array}\right);

(в)

(2−14−2)X=(1326);\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 6\end{array}\right) ; \quad

(г)

X(2−14−2)=(1362);X\left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 4 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 6 & 2\end{array}\right) ;

(д)

(3121)X(1312)=(3322)\left(\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 1\end{array}\right) X\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 2\end{array}\right);

(е)

(12−332−42−10)X=(1−3010271078)\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{rrr}1 & -3 & 0 \\ 10 & 2 & 7 \\ 10 & 7 & 8\end{array}\right);

(ж)

X(5311−3−2−521)=(−830−590−2150)X\left(\begin{array}{rrr}5 & 3 & 1 \\ 1 & -3 & -2 \\ -5 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-8 & 3 & 0 \\ -5 & 9 & 0 \\ -2 & 15 & 0\end{array}\right);

(з)

(11…101…1……….00…1)X=(123…n012…n−1……………000…1)\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 0 & 1 & 2 & \ldots & n-1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right);

(и)

X(11−12101−11)=(1−134321−25)X\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & 5\end{array}\right);

(к)

(121212123)X=(210112−121)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right);

(л)

(210120001)X(001010100)=(010100000)\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) X\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right);

(м)

X(111123149)=(123246369)X\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right);

(н)

(123231312)X=(001100010)\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right);

(о)

(110212011)X=(5−12−646−207)\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) X=\left(\begin{array}{rrr}5 & -1 & 2 \\ -6 & 4 & 6 \\ -2 & 0 & 7\end{array}\right).

Задача 18.4

Пусть A,BA, B — матрицы размеров m×nm \times n и m×km \times k соответственно. Доказать, что матричное уравнение AX=BA X=B, где XX — матрица размера n×kn \times k, имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы AA совпадает с рангом расширенной матрицы (A∣B)(A \mid B).

?
Задача 18.5

Пусть AA — квадратная матрица. Доказать, что матричное уравнение AX=BA X=B имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица AA невырождена.

?
Задача 18.6

Пусть AA — матрица размера n×mn \times m, причём m≠nm \neq n. Доказать, что для любого натурального числа kk существует такая матрица BB размера n×kn \times k, что матричное уравнение AX=BA X=B не имеет единственного решения.

?
Задача 18.7

Доказать, что система уравнений

∑j=1naijXj=Bi,i=1,2,…,n \sum _{j=1}^{n} a_{i j} X_{j}=B_{i}, \quad i=1,2, \ldots , n

где XjX_{j} и BiB_{i} — матрицы порядка p×qp \times q, имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det⁡(aij)≠0\operatorname {det}\left(a_{i j}\right) \neq 0.

?
Задача 18.8

С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице:

?
(а)

(1301)\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 1\end{array}\right);

(б)

(1032)\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 2\end{array}\right);

(в)

(1235)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\right);

(г)

(1327)\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 7\end{array}\right);

(д)

(50003000−2)\left(\begin{array}{rrr}5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right);

(е)

(100010301)\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right);

(ж)

(600012035)\left(\begin{array}{lll}6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right);

(з)

(130270007)\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right);

(и)

(110010033)\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right);

(к)

(200311002)\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right);

(л)

(cos⁡α−sin⁡αsin⁡αcos⁡α)\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right).

Задача 18.9

Найти с помощью элементарных преобразований обратную к матрице:

?
(а)

(1000001000010100);\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right) ;

(б)

(0010100000010100)\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right);

(в)

(2000000102000010)\left(\begin{array}{llll}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right);

(г)

(000−1002010000300)\left(\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0\end{array}\right);

(д)

(11…101…1……….00…1)\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & . \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right);

(е)

(100…00110…00011…00………………000…11)\left(\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 1\end{array}\right);

(ж)

(2576345−2−3)\left(\begin{array}{rrr}2 & 5 & 7 \\ 6 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & -3\end{array}\right);

(з)

(3−452−313−5−1)\left(\begin{array}{rrr}3 & -4 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -5 & -1\end{array}\right);

(и)

(273394153)\left(\begin{array}{lll}2 & 7 & 3 \\ 3 & 9 & 4 \\ 1 & 5 & 3\end{array}\right);

(к)

(12221−22−21);\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right) ;

(л)

(12342312111−110−2−6)\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 & -6\end{array}\right).

Задача 18.10

Найти обратную к квадратной матрице:

?
(а)

(A0BC)\left(\begin{array}{ll}A & 0 \\ B & C\end{array}\right);

(б)

(AB0C)\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & C\end{array}\right); где A,CA, C — невырожденные матрицы.

Задача 18.11

Найти обратную к матрице:

?
(а)

(120023001−1130102)\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 2\end{array}\right);

(б)

(23121120001−1001−2)\left(\begin{array}{rrrr}2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2\end{array}\right).

Задача 18.12

Пусть A,B,C,DA, B, C, D — невырожденные матрицы. Доказать, что

[ABCD]−1=[(A−BD−1C)−1(C−DB−1A)−1(B−AC−1D)−1(D−CA−1B)−1] \left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right]^{-1}=\left[\begin{smallmatrix} \left(A-B D^{-1} C\right)^{-1} & \left(C-D B^{-1} A\right)^{-1} \\ \left(B-A C^{-1} D\right)^{-1} & \left(D-C A^{-1} B\right)^{-1} \end{smallmatrix}\right]
?
Задача 18.13

Какие значения может принимать определитель

?
(а)

ортогональной матрицы;

(б)

унитарной матрицы?

Задача 18.14

Чему равен определитель целочисленной матрицы AA, если матрица A−1A^{-1} также целочисленная?

?
Задача 18.15

Пусть AA — квадратная матрица порядка nn, элементы которой — многочлены от переменной tt, и det⁡A\operatorname {det} A — ненулевой многочлен. Доказать, что существует единственная матрица BB, элементы которой — многочлены от tt, такая, что AB=BA=(det⁡A)EA B=B A=(\operatorname {det} A) E. Найти BB, если:

?
(а)

A=(1−t1+t1+t2t3)A=\left(\begin{array}{cc}1-t & 1+t \\ 1+t^{2} & t^{3}\end{array}\right);

(б)

A=(t1t−111−t1t)A=\left(\begin{array}{ccc}t & 1 & t \\ -1 & 1 & 1 \\ -t & 1 & t\end{array}\right).

Задача 18.16

Доказать, что в кольце матриц над полем:

?
(а)

обратимая матрица не является делителем нуля;

(б)

любая матрица либо обратима, либо является левым и правым делителем нуля.

Задача 18.17

Доказать, что если матрица E+ABE+A B обратима, то матрица E+BAE+B A также обратима.

?
Задача 18.18

Пусть AA и BB — матрицы размеров n×mn \times m и m×nm \times n, причём ABA B и BAB A — единичные матрицы размеров nn и mm. Доказать, что m=nm=n.

?
Задача 18.19

Пусть AA — матрица размера m×nm \times n, имеющая ранг mm. Доказать, что существует такая матрица XX размера n×mn \times m, что AXA X единичная матрица размера mm.

?
Задача 18.20

Как изменится матрица A−1A^{-1}, если в AA :

?
(а)

переставить ii-ю и jj-ю строки;

(б)

к ii-й строке прибавить jj-ю, умноженную на cc;

(в)

умножить ii-ю строку на число c≠0c \neq 0;

(г)

преобразования а)-в) совершить со столбцами?

Задача 18.21

Доказать, что (AB)−1=B−1A−1(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}.

?
Задача 18.22

Пусть X^\widehat{X} — присоединенная матрица (см. 16.4) для квадратной матрицы XX. Доказать, что

AB^=B^A^,A−1^=(A^)−1,(tA)^=t(A^) \widehat{A B}=\widehat{B} \widehat{A}, \quad \widehat{A^{-1}}=(\widehat{A})^{-1}, \quad \widehat{\left({ }^{t} A\right)}={ }^{t}(\widehat{A})
?
Задача 18.23

Пусть BB и CC — строки длины nn, причём CtB≠−1C^{t} B \neq -1 и EE единичная матрица размера nn. Доказать, что матрица E+tBCE+{ }^{t} B C обратима.

?
Задача 18.24

Пусть B,CB, C — строки длины nn, причём CtB=−1C^{t} B=-1, и E−E- единичная матрица размера nn. Доказать, что ранг матрицы E+tBCE+{ }^{t} B C равен n−1n-1.

?