Банк задач по математике

Задача 17.1

Перемножить матрицы:

?

(а)

$\left(\begin{array}{cc}1 & n \\ 0 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}1 & m \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}\cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{array}\right)$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrr}3 & -4 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -5 & -1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc}3 & 29 \\ 2 & 18 \\ 0 & -3\end{array}\right)$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 3 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}2 & -3 & 5 \\ -1 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 1\end{array}\right)$ ;

(д)

$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1\end{array}\right)$ ;

(е)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & 6\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)$ ;

(ж)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ ;

(з)

$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 17.2

(а)(б)

Выполнить действия:

?

(а)

$\left(\begin{array}{llll}3 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrr}-2 & 0 & -3 \\ 0 & 6 & -3 \\ 5 & -2 & 8\end{array}\right)$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rrrr}0 & -4 & 6 & 1 \\ 2 & 2 & -5 & -2 \\ 2 & -2 & 6 & 4 \\ 1 & 3 & 0 & 1\end{array}\right)$ .

Задача 17.3

(а)(б)(в)(г)

Вычислить:

?

(а)

$\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right)^{2}$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{2}$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)^{2}$ ;

(г)

$\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)^{2}$ .

Задача 17.4

(а)(б)(в)

Вычислить:

?

(а)

$\left(\begin{array}{rr}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)^{n}$ ;

(б)

$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{array}\right)^{n}$ ;

(в)

$\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 5 & 3\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}3 & -1 \\ -5 & 2\end{array}\right)^{n}$ .

Задача 17.5

(а)(б)

Вычислить значение многочлена $f(x)$ от матрицы $A$ :

?

(а)

$f(x)=x^{3}-2 x^{2}+1, \quad A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ;

(б)

$f(x)=x^{3}-3 x+2, \quad A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ .

Задача 17.6

Доказать, что если матрицы $A$ и $B$ перестановочны, то

(A+B)^{n}=\sum _{i=0}^{n}\binom {n}{i} A^{i} B^{n-i}

Привести пример двух матриц $A, B$ , для которых эта формула неверна.

?

Задача 17.7

Вычислить степени квадратной матрицы

H=\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right]

?

Задача 17.8

Пусть задана квадратная матрица

J=\left[\begin{smallmatrix} \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \lambda \end{smallmatrix}\right]

размера $n$ . Доказать, что если $f(x)$ — многочлен, то

f(J)=\left[\begin{smallmatrix} f(\lambda ) & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} & \frac{f^{\prime \prime }(\lambda )}{2!} & \ldots & \frac{f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!} & \frac{f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!} \\ 0 & f(\lambda ) & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} & \ldots & \frac{f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!} & \frac{f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!} \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & f(\lambda ) & \frac{f^{\prime }(\lambda )}{1!} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & f(\lambda ) \end{smallmatrix}\right].

?

Задача 17.9

Пусть $C, A$ — квадратные матрицы одного размера и $f(x)$ — многочлен. Доказать, что $f\left(C A C^{-1}\right)=C f(A) C^{-1}$ .

?

Задача 17.10

(а)(б)

Вычислить $e^{A}$ , где:

?

(а)

$A=\left(\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -4 & -2\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ .

Задача 17.11

(а)(б)

Вычислить $\ln A$ , где:

?

(а)

$A=\left(\begin{array}{rr}3 & 1 \\ -4 & -1\end{array}\right)$ ;

(б)

$A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1\end{array}\right)$ .

Задача 17.12

Пусть $A=\left(a_{i j}\right)$ — матрица размера $m \times n$ . Доказать, что

A=\sum _{i, j} a_{i j} E_{i j}

где $E_{i j}$ — матричные единицы.

?

Задача 17.13

Доказать, что $E_{i j} E_{p q}=\delta_{j p} E_{i q}$ .

?

Задача 17.14

Пусть $A$ — произвольная матрица. Вычислить $E_{i j} A$ .

?

Задача 17.15

Пусть $A$ — произвольная матрица. Вычислить $A E_{i j}$ .

?

Задача 17.16

Пусть $A$ — квадратная матрица, причём $E_{i j} A=A E_{i j}$ для всех матричных единиц $E_{i j}$ . Доказать, что $A=\lambda E$ для некоторого скаляра $\lambda$ .

?

Задача 17.17

Пусть $A$ — квадратная матрица, причём $E_{i i} A=A E_{i i}$ для всех $i$ . Доказать, что матрица $A$ диагональна.

?

Задача 17.18

Пусть квадратная матрица $A$ перестановочна со всеми невырожденными матрицами. Доказать, что $A=\lambda E$ .

?

Задача 17.19

Найти все матрицы $A$ порядка $n$ такие, что $\operatorname {tr} A X=0$ для любой матрицы $X$ порядка $n$ .

?

Задача 17.20

Доказать, что след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей.

?

Задача 17.21

Доказать, что если $C$ — невырожденная матрица, то для любой матрицы $A$ того же порядка $\operatorname {tr} C A C^{-1}=\operatorname {tr} A$ .

?

Задача 17.22

При каких $\lambda$ имеет решение уравнение

[X, Y]=\lambda E

$([X, Y]$ — коммутатор матриц $X$ и $Y)$ ?

?

Задача 17.23

(а)(б)

Доказать, что для любых квадратных матриц $A, B, C$ выполняются равенства:

?

(а)

$[A, B C]=[A, B] C+B[A, C]$ ;

(б)

$[[A, B], C]+[[B, C], A]+[[C, A], B]=0$ .

Задача 17.24

Доказать,что для любых матриц порядка 2 выполняется равенство $\left[[A, B]^{2}, C\right]=0$ .

?

Задача 17.25

Пусть $A, B, \ldots , D_{1}$ — квадратные матрицы одного порядка. Выразить произведение матриц

\left[\begin{smallmatrix} A & B \\ C & D \end{smallmatrix}\right] \cdot \left[\begin{smallmatrix} A_{1} & B_{1} \\ C_{1} & D_{1} \end{smallmatrix}\right]

через заданные матрицы.

?

Задача 17.26

Пусть $A$ — треугольная вещественная матрица, перестановочная с ${ }^{t} A$ . Доказать, что матрица $A$ диагональная.

?

Задача 17.27

Пусть $A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{M}_{n}(\mathbb {R})$ — симметричная невырожденная матрица, причём существует такое $k<n$ , что $a_{i j}=0$ при $\left|i-j\right| \geqslant k$ . Предположим, что $A={ }^{t} B \cdot B$ , где $B=\left(b_{i j}\right)$ — верхнетреугольная матрица. Доказать, что $b_{i j}=0$ , если $j-i \geqslant k$ .

?

Задача 17.28

Доказать, что любая матрица со следом 0 является суммой коммутаторов матриц со следом 0.

?

Задача 17.29

Для матрицы

\left[\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{smallmatrix}\right]

найти такие матрицы $A$ и $B$ , что

[A, X]=X, \quad [A, B]=-B, \quad [X, B]=A

?

Действия над матрицами