Банк задач по математике

Задача 14.1

Докажите лемму 14.1.

?

Примечание.

?

Лемма 14.1: Пусть $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ и $N \in \mathbb {N}$ ; тогда $S_{N}^{\mathrm{o}} f = M_{N} S_{N} M_{-N} f$ .

Задача 14.2

Завершите доказательство теоремы 14.2.

?

Задача 14.3

(a)(b)

?

(a)

Пусть $f \in C(\mathbf{T})$ , $f(0) = 0$ , и $f$ дифференцируема в точке $x = 0$ . Покажите, что $g(x) = f(x) /\left(e^{-2 \pi i x}-1\right) \in C(\mathbf{T})$ и

\sum _{k = -N}^{N} \widehat{f}(k) = \widehat{g}(N+1)-\widehat{g}(-N)

Заключите, что симметричные частичные суммы ряда Фурье для $f$ сходятся в точке $x = 0$ к $f(0)$ .

(b)

Покажите, что если $f \in C(\mathbf{T})$ дифференцируема в точке $x \in \mathbf{T}$ , то

\lim _{N \rightarrow \infty } \sum _{k = -N}^{N} \widehat{f}(k) e^{2 \pi i k x} = f(x)

Задача 14.4

(a)(b)

?

(a)

Пусть $g \in L^{1}(\mathbf{T})$ . Покажите, что $g$ вещественнозначна тогда и только тогда, когда $\overline{\widehat{g}(n)} = \widehat{g}(-n)$ при $n \in \mathbb {Z}$ .

(b)

Покажите, что если $f \in A(\mathbf{T})$ вещественнозначна, то её сопряжённая функция $H f$ также вещественнозначна.

Задача 14.5

Докажите теорему 14.6.

?

Примечание.

?

Теорема 14.6: Алгебра Фурье $A(\mathbf{T})$ допускает сопряжение, и если $f \in A(\mathbf{T})$ , то скрученные частичные суммы $S_{N}^{\mathrm{t}} f$ сходятся к $H f$ по норме $L^{p}$ для каждого $1 \leq p \leq \infty$ : для всех $f \in A(\mathbf{T})$ и $1 \leq p \leq \infty$ , $\lim_{N \rightarrow \infty }\left\| H f-S_{N}^{\mathrm{t}} f\right\|_{L^{p}} = 0$ .

Задача 14.6

Завершите доказательство теоремы 14.7.

?

Задача 14.7

При заданном $1 < p < \infty$ покажите, что сопряжение ограничено на $L^{p}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда оно ограничено на $L^{p^{\prime }}(\mathbf{T})$ .

?

Базисные свойства рядов Фурье