Часть IV

Ряды Фурье

[33/91%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Глава

13 · Ряды Фурье[26/88%]

Задача 13.1

(a)(b)

(a)

Докажите, что каждая функция из $C(\mathbf{T})$ равномерно непрерывна, и используйте это, чтобы доказать, что сдвиг сильно непрерывен на $C(\mathbf{T})$ , т.е.

\forall f \in C(\mathbf{T}), \quad \lim _{a \rightarrow 0}\left\| T_{a} f-f\right\| _{\infty } = 0.

(b)

Используя тот факт, что $C(\mathbf{T})$ плотно в $L^{p}(\mathbf{T})$ , докажите, что сдвиг сильно непрерывен на $L^{p}(\mathbf{T})$ при $1 \leq p < \infty$ , т.е.

\forall 1 \leq p < \infty , \quad \forall f \in L^{p}(\mathbf{T}), \quad \lim _{a \rightarrow 0}\left\| T_{a} f-f\right\| _{L^{p}} = 0.

Задача 13.2

Докажите лемму 13.5, а также выведите аналогичные формулы для обратных преобразований Фурье $\left(T_{a} f\right)^{\vee },\left(M_{m} f\right)^{\vee },\left(T_{m} c\right)^{\vee }$ и $\left(M_{a} c\right)^{\vee }$ .

Задача 13.3

Это упражнение покажет, как преобразование Фурье переводит гладкость функции $f$ в убывание её коэффициентов Фурье. Покажите, что если $f \in C^{1}(\mathbf{T})$ , то $\widehat{f^{\prime }}(n) = 2 \pi i n \widehat{f}(n)$ при $n \in \mathbb {Z}$ , и используйте это, чтобы показать, что

\left|\widehat{f}(n)\right| \leq \frac{\left\| f^{\prime }\right\| _{L^{1}}}{2 \pi \left|n\right|}, \quad n \neq 0

Распространите на производные высших порядков и сопоставьте с теоремой 9.16.

Задача 13.4

Это упражнение покажет, как преобразование Фурье переводит убывание последовательности $c$ в гладкость её преобразования Фурье. Покажите, что если $c = \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb {Z}}$ удовлетворяет $\sum_{n \in \mathbb {Z}}\left|n c_{n}\right| < \infty$ , то $\hat{c}(\xi ) = \sum_{n \in \mathbb {Z}} c_{n} e^{-2 \pi i n x}$ дифференцируема и

\widehat{c}^{\prime }(\xi ) = -2 \pi i \sum _{n \in \mathbb {Z}} n c_{n} e^{-2 \pi i n x} = \widehat{d}(\xi ),

где $d = \left(-2 \pi i n c_{n}\right)_{n \in \mathbb {Z}} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ . Распространите на производные высших порядков и сопоставьте с теоремой 9.15.

Задача 13.5

Пусть $p(x) = \sum_{k = 0}^{M} a_{k} x^{k}$ и $q(x) = \sum_{k = 0}^{N} b_{k} x^{k}$ — два многочлена. Их поточечное произведение — многочлен вида $p(x) q(x) = \sum_{n = 0}^{M+N} c_{n} x^{n}$ . Найдите явную формулу для $c_{n}$ и объясните её связь со свёрткой последовательностей $\left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ и $\left(b_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ , где мы полагаем $a_{k} = 0$ , если $k \neq 0, \ldots , M$ , и аналогично для $b_{k}$ .

Задача 13.6

Покажите, что $f, g \in L^{1}(\mathbf{T})$ не влечёт $f g \in L^{1}(\mathbf{T})$ .

Задача 13.7

Докажите теорему 13.8 для случаев $p = 1$ и $p = \infty$ .

Задача 13.8

Докажите теорему 13.9.

Примечание.

Теорема 13.9 (неравенство Юнга): Зафиксируем $1 \leq p \leq \infty$ . Если $f \in \ell^{p}(\mathbb {Z})$ и $g \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ , то $f * g \in \ell^{p}(\mathbb {Z})$ , и имеем $\left\| f * g\right\|_{\ell^{p}} \leq \left\| f\right\|_{\ell^{p}}\left\| g\right\|_{\ell^{1}}$ .

Задача 13.9

(a)(b)

(a)

Обоснуйте использование теоремы Фубини в доказательстве пункта (a) теоремы 13.10.

(b)

Докажите пункт (b) этой теоремы.

Задача 13.10

Докажите лемму 13.11 и установите аналогичные свойства для свёртки последовательностей.

Задача 13.11

Пусть $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ ; положим $f^{*}(x) = f(-x)$ и покажите, что $\widehat{f^{*}}(n) = \widehat{f}(-n) = \stackrel{\vee }{f}(n)$ . Заключите, что если $f$ чётна, то $\widehat{f}$ чётна и $\widehat{f} = \stackrel{\vee }{f}$ .

Задача 13.12

Пусть $\delta = \delta_{0} = \left(\delta_{0 n}\right)_{n \in \mathbb {Z}}$ . Покажите, что $\delta$ — единица относительно свёртки на $\ell^{p}(\mathbb {Z})$ , т.е. $c * \delta = c$ для каждого $c \in \ell^{p}(\mathbb {Z})$ , где $1 \leq p \leq \infty$ .

Замечание Мы увидим в следствии 13.15, что не существует элемента $L^{1}(\mathbf{T})$ , являющегося единицей относительно свёртки на $L^{p}(\mathbf{T})$ .

Задача 13.13

(a)(b)

(a)

Покажите, что если $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ и $g \in C(\mathbf{T})$ , то $f * g \in C(\mathbf{T})$ .

(b)

Докажите, что свёртка коммутирует с дифференцированием в следующем смысле: если $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ и $g \in C^{1}(\mathbf{T})$ , то $f * g \in C^{1}(\mathbf{T})$ , и $(f * g)^{\prime } = f * g^{\prime }$ . Распространите на $g \in C^{m}(\mathbf{T})$ и $g \in C^{\infty }(\mathbf{T})$ .

Задача 13.14

Зафиксируем $1 \leq p \leq \infty$ . Покажите, что если $f \in L^{p}(\mathbf{T})$ и $g \in L^{p^{\prime }}(\mathbf{T})$ , то $f * g \in C(\mathbf{T})$ .

Задача 13.15

Постройте приближённую единицу $\left\{ k_{N}\right\}$ такую, что $k_{N} \in C(\mathbf{T}), k_{N} \geq 0$ всюду, и $k_{N} = 0$ на $\left[\frac{1}{N}, 1-\frac{1}{N}\right]$ . Насколько гладкой можно сделать $k_{N}$ ?

Задача 13.16

Докажите теорему 13.13 для $1 < p < \infty$ и для $C(\mathbf{T})$ .

Задача 13.17

Существование бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем показано в упражнении 11.9. Объедините упражнения 13.13 и 13.15 с теоремой 13.13, чтобы показать, что $C^{\infty }(\mathbf{T})$ плотно в $L^{p}(\mathbf{T})$ при $1 \leq p < \infty$ и плотно в $C(\mathbf{T})$ относительно равномерной нормы. Заключите, что $C^{m}(\mathbf{T})$ плотно в этих пространствах при каждом целом $m \geq 0$ .

Задача 13.18

Зафиксируем $0 < \alpha < 1$ . Покажите, что если $f \in C(\mathbf{T})$ гёльдерова с показателем $\alpha$ (см. упражнение 1.23), то

\left|\widehat{f}(n)\right| \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\left|n\right|}\right)^{\alpha }, \quad n \neq 0

Задача 13.19

Докажите лемму 13.17.

Примечание.

Лемма 13.17: Пусть $\chi_{N}$ обозначает дискретную характеристическую функцию множества $\left\{ -N, \ldots , N\right\}$ , то есть $\chi_{N}(n) = \sum_{m = -N}^{N}\delta_{m}(n)$ (так что $\chi_{N}(n) = 1$ при $-N \leq n \leq N$ и $\chi_{N}(n) = 0$ при $\left|n\right| > N$ ). Тогда для каждого $N \in \mathbb {N}$ имеем $d_{N}(x) = \sum_{n = -N}^{N} e^{2 \pi i n x} = \frac{\sin \left((2 N+1)\pi x\right)}{\sin \pi x} = \widehat{\chi }_{N}(x) = \left(\chi_{N}\right)^{\vee }(x)$ .

Задача 13.20

Докажите теорему 13.18.

Примечание.

Теорема 13.18: $d_{N} \in L^{1}(\mathbf{T})$ и $\int_{0}^{1} d_{N} = 1$ для каждого $N \in \mathbb {N}$ , и при $N > 1$ имеем $\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k} \leq \left\| d_{N}\right\|_{L^{1}} \leq 3+\frac{4}{\pi^{2}} \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k}$ .

Задача 13.21

(a)(b)(c)

Дана последовательность скаляров $a = \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb {Z}}$ , пусть $s_{N} = \sum_{k = -N}^{N} a_{k}$ .

(a)

Пусть $\sigma_{N} = \left(s_{0}+\cdots +s_{N}\right) /(N+1)$ обозначает средние Чезаро, и покажите, что

\sigma _{N} = \sum _{n = -N}^{N}\left(1-\frac{\left|n\right|}{N+1}\right) a_{n}.

(b)

Покажите, что если частичные суммы $s_{N}$ сходятся, то средние Чезаро $\sigma_{N}$ сходятся к тому же пределу, т.е.

\lim _{N \rightarrow \infty } \sum _{n = -N}^{N}\left(1-\frac{\left|n\right|}{N+1}\right) a_{n} = \lim _{N \rightarrow \infty } s_{N} = \sum _{n = -\infty }^{\infty } a_{n}.

(c)

Положим $a_{n} = (-1)^{n}$ при $n \geq 0$ и $a_{n} = 0$ при $n < 0$ . Покажите, что ряд $\sum_{n \in \mathbb {Z}} a_{n}$ суммируем по Чезаро, хотя частичные суммы не сходятся, и найдите предел средних Чезаро.

Задача 13.22

Докажите равенство, приведённое в уравнении (13.18).

Задача 13.23

(a)(b)

Докажите лемму 13.20.

(a)

$w_{N}(x)$ имеет замкнутую форму $w_{N}(x) = \frac{1}{N+1}\left(\frac{\sin \pi (N+1) x}{\sin \pi x}\right)^{2}$ .

(b)

$\left\{ w_{N}\right\}$ образует аппроксимативную единицу на $\mathbf{T}$ .

Задача 13.24

(a)(b)

(a)

Покажите, что если $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ и $\widehat{f} \in \ell^{2}(\mathbb {Z})$ , то $f \in L^{2}(\mathbf{T})$ .

(b)

Используя пункт (a), покажите, что равенство Планшереля остаётся верным, если предположить, что $f$ принадлежит $L^{1}(\mathbf{T})$ вместо меньшего пространства $L^{2}(\mathbf{T})$ . Иными словами, покажите, что если $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ , то

\sum _{n \in \mathbb {Z}}\left|\widehat{f}(n)\right|^{2} = \left\| f\right\| _{L^{2}}^{2},

в том смысле, что одна сторона конечна тогда и только тогда, когда конечна другая, и в этом случае они равны; в противном случае обе стороны бесконечны.

Задача 13.25

Пусть $f(x) = \pi^{2}\left(x^{2}-x+\frac{1}{6}\right)$ при $x \in [0,1)$ . Продолженная 1-периодически, $f$ — непрерывная функция на $\mathbf{T}$ . Вычислите $\widehat{f}$ и покажите, что $\widehat{f} \in \ell^{1}(\mathbb {Z})$ . Используя это, покажите, что

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\cos 2 \pi n x}{n^{2}} = \pi ^{2}\left(x^{2}-x+\frac{1}{6}\right), \quad x \in [0,1] \tag {13.20}

где ряд сходится равномерно на $[0,1]$ . К чему сходится ряд при других $x$ ? Возьмите $x = 0$ , чтобы получить формулу Эйлера:

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6}

Сопоставьте с упражнением 1.55.

Задача 13.26

Докажите следующие факты об алгебре Фурье $A(\mathbf{T})$ .

(a)

$A(\mathbf{T})$ — банахово пространство относительно нормы $\left\| f\right\|_{A} = \left\| \widehat{f}\right\|_{\ell^{1}}$ , и $\mathcal{F}: f \mapsto \widehat{f}$ — изометрический изоморфизм $A(\mathbf{T})$ на $L^{1}(\mathbf{T})$ .

(b)

$A(\mathbf{T})$ замкнута относительно поточечных произведений, и $\left\| f g\right\|_{A} \leq \left\| f\right\|_{A}\left\| g\right\|_{A}$ (следовательно, $A(\mathbf{T})$ — банахова алгебра относительно поточечных произведений).

(c)

$C^{2}(\mathbf{T}) \subseteq A(\mathbf{T})$ , и потому $A(\mathbf{T})$ плотна в $C(\mathbf{T})$ .

(d)

$L^{2}(\mathbf{T}) * L^{2}(\mathbf{T}) = A(\mathbf{T})$ .

(e)

$A(\mathbf{T})$ — тощее подмножество $C(\mathbf{T})$ .

Глава

14 · Базисные свойства рядов Фурье[7/100%]

Задача 14.1

Докажите лемму 14.1.

Примечание.

Лемма 14.1: Пусть $f \in L^{1}(\mathbf{T})$ и $N \in \mathbb {N}$ ; тогда $S_{N}^{\mathrm{o}} f = M_{N} S_{N} M_{-N} f$ .

Задача 14.2

Завершите доказательство теоремы 14.2.

Задача 14.3

(a)(b)

(a)

Пусть $f \in C(\mathbf{T})$ , $f(0) = 0$ , и $f$ дифференцируема в точке $x = 0$ . Покажите, что $g(x) = f(x) /\left(e^{-2 \pi i x}-1\right) \in C(\mathbf{T})$ и

\sum _{k = -N}^{N} \widehat{f}(k) = \widehat{g}(N+1)-\widehat{g}(-N)

Заключите, что симметричные частичные суммы ряда Фурье для $f$ сходятся в точке $x = 0$ к $f(0)$ .

(b)

Покажите, что если $f \in C(\mathbf{T})$ дифференцируема в точке $x \in \mathbf{T}$ , то

\lim _{N \rightarrow \infty } \sum _{k = -N}^{N} \widehat{f}(k) e^{2 \pi i k x} = f(x)

Задача 14.4

(a)(b)

(a)

Пусть $g \in L^{1}(\mathbf{T})$ . Покажите, что $g$ вещественнозначна тогда и только тогда, когда $\overline{\widehat{g}(n)} = \widehat{g}(-n)$ при $n \in \mathbb {Z}$ .

(b)

Покажите, что если $f \in A(\mathbf{T})$ вещественнозначна, то её сопряжённая функция $H f$ также вещественнозначна.

Задача 14.5

Докажите теорему 14.6.

Примечание.

Теорема 14.6: Алгебра Фурье $A(\mathbf{T})$ допускает сопряжение, и если $f \in A(\mathbf{T})$ , то скрученные частичные суммы $S_{N}^{\mathrm{t}} f$ сходятся к $H f$ по норме $L^{p}$ для каждого $1 \leq p \leq \infty$ : для всех $f \in A(\mathbf{T})$ и $1 \leq p \leq \infty$ , $\lim_{N \rightarrow \infty }\left\| H f-S_{N}^{\mathrm{t}} f\right\|_{L^{p}} = 0$ .

Задача 14.6

Завершите доказательство теоремы 14.7.

Задача 14.7

При заданном $1 < p < \infty$ покажите, что сопряжение ограничено на $L^{p}(\mathbf{T})$ тогда и только тогда, когда оно ограничено на $L^{p^{\prime }}(\mathbf{T})$ .