Функциональный анализ

Пусть $M$ — подпространство гильбертова пространства $H$, и зафиксируем $\lambda \in M$. Покажите непосредственно, что существует $\Lambda \in H$, такой что $\left\langle x, \Lambda \right\rangle = \left\langle x, \lambda \right\rangle$ для всех $x \in M$ и $\left\| \Lambda \right\| = \left\| \lambda \right\|$.

Предположим, что $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$, $x_{0} \in H \backslash M$, и $d = \operatorname {dist}\left(x_{0}, M\right)$. Покажите непосредственно, что существует $\mu \in H$, такой что $\left\langle x_{0}, \mu \right\rangle = 1, \left\langle x, \mu \right\rangle = 0$ для всех $x \in M$, и $\left\| \mu \right\| = 1 / d$.

Пусть $X$ — нормированное пространство.

Теорема Вейерштрасса об аппроксимации влечёт, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ полна в $C[0,1]$. Покажите, что $\left\{ x^{2 k}\right\}_{k \geq 0}$ также полна в $C[0,1]$.

Для подмножества $A$ нормированного пространства $X$ определим его ортогональное дополнение $A^{\perp } \subseteq X^{*}$ формулой

Докажите, что $A^{\perp }$ — замкнутое подпространство $X^{*}$, и объясните, как это связано со следствием 2.5.

Пусть $S$ — подпространство нормированного пространства $X$; покажите, что его замыкание $\bar{S}$ даётся формулой

Покажите, что $\ell^{p}$ рефлексивно при каждом $1 < p < \infty$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Покажите, что если $X$ сепарабельно, а $X^{*}$ нет, то $X$ не рефлексивно. Используя это, покажите, что $\ell^{1}$ — собственное подпространство $\left(\ell^{\infty }\right)^{*}$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства. Для $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ покажите, что существует единственный оператор $T^{*} \in \mathcal{B}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$, удовлетворяющий равенству (2.4).

Пусть $X$ — банахово пространство. Для $\mu \in X^{*} = \mathcal{B}(X, \mathbf{F})$ явно опишите его сопряжённый оператор $\mu^{*}$.

Пусть $M$ — замкнутое подпространство $M$ нормированного пространства $X$, и зафиксируем $L \in \mathcal{B}(X)$. Будем говорить, что $M$ инвариантно относительно $L$, если $L(M) \subseteq M$. Покажите, что если $M \subseteq X$ инвариантно относительно $L$, то $M^{\perp }$ инвариантно относительно $L^{*}$, где $M^{\perp }$ — ортогональное дополнение, определённое в упражнении 2.5.

Предположим, что $M$ — замкнутое подпространство банахова пространства $X$. Пусть $\epsilon : M \rightarrow X$ — отображение вложения, то есть $\epsilon (x) = x$ для $x \in M$. Покажите, что $\epsilon^{*}: X^{*} \rightarrow M^{*}$ — отображение ограничения, то есть если $\mu \in X^{*}$, то $\epsilon^{*} \mu = \left.\mu \right|_{M}$.

Пусть $A: \mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{m}$ — линейный оператор, который мы отождествляем с его матричным представлением размера $m \times n$. Покажите, что сопряжённый к $A$ в гильбертовом смысле (определение 2.10) — это эрмитово-сопряжённая матрица $A^{*} = \overline{A^{\mathrm{T}}}$, тогда как сопряжённый к $A$ в банаховом смысле (определение 2.8) — это транспонированная матрица $A^{\mathrm{T}}$.

Пусть $L, R$ — операторы левого и правого сдвига на $\ell^{2}$, определённые в упражнении 1.64. Покажите, что $R = L^{*}$.

Зафиксируем $\lambda \in \ell^{\infty }$, и пусть $M_{\lambda }$ — оператор умножения, определённый в упражнении 1.66. Найдите $M_{\lambda }^{*}$, и определите, когда $M_{\lambda }$ самосопряжён, положителен или положительно определён.

Докажите теорему 2.13.

Пусть $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$, и пусть дан $P \in \mathcal{B}(H)$. Покажите, что $P$ является ортогональной проекцией $H$ на $M$ тогда и только тогда, когда $P^{2} = P$, $P^{*} = P$, и $\operatorname {range}(P) = M$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и предположим, что $A, B \in \mathcal{B}(H)$ самосопряжены.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и зафиксируем $A \in \mathcal{B}(H)$.

Пусть $H, K$ — гильбертовы пространства. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}(H, K)$, то $A^{*} A \in \mathcal{B}(H)$ и $A A^{*} \in \mathcal{B}(K)$ — положительные операторы.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Для $A \in \mathcal{B}(H)$,

Пусть $H, K$ — гильбертовы пространства, и зафиксируем $U \in \mathcal{B}(H, K)$. Покажите, что $U$ унитарен тогда и только тогда, когда $U$ — биекция и $U^{-1} = U^{*}$.

Заполните детали в доказательстве теоремы 2.18.

Пусть $A$ — положительный оператор на гильбертовом пространстве $H$.

Докажите лемму 2.20.

Покажите, что $C_{c}(\mathbb {R})$ — тощее (первой категории) подмножество $C_{0}(\mathbb {R})$.

Предположим, что $f$ — бесконечно дифференцируемая функция на $\mathbb {R}$, такая что для каждого $t \in \mathbb {R}$ найдётся целое число $n_{t} \geq 0$, для которого $f^{\left(n_{t}\right)}(t) = 0$. Докажите, что существует открытый интервал $(a, b)$ и многочлен $p$, такие что $f(t) = p(t)$ для всех $t \in (a, b)$.

Пусть $D$ — подмножество $C[0,1]$, состоящее из всех функций $f \in C[0,1]$, имеющих правостороннюю производную хотя бы в одной точке $[0,1]$. Покажите, что $D$ тощее в $C[0,1]$, и сделайте вывод, что в $C[0,1]$ существуют функции, не дифференцируемые ни в одной точке.

Докажите теорему 2.23.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$, и пусть $P_{N}$ — ортогональная проекция $H$ на $\operatorname {span}\left\{ e_{1}, \ldots , e_{N}\right\}$. Покажите, что $P_{N} x \rightarrow x$ для каждого $x \in H$, но $\left\| I-P_{N}\right\| \nrightarrow 0$ при $N \rightarrow \infty$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства. Предположим, что $A_{n} \in \mathcal{B}(X, Y)$ для $n \in \mathbb {N}$, и $A x = \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n} x$ существует для каждого $x$ из плотного подпространства $S$ пространства $X$.

Докажите теорему 2.24 для случаев $p = 1$ и $p = \infty$.

Зафиксируем $1 \leq p, q \leq \infty$. Пусть $A = \left[a_{i j}\right]_{i, j \in \mathbb {N}}$ — бесконечная матрица, и положим $a_{i} = \left(a_{i j}\right)_{j \in \mathbb {N}}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$. Предположим, что

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Покажите, что $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ сюръективен тогда и только тогда, когда $\operatorname {range}(A)$ не является тощим в $Y$.

Покажите, что если $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм нормированного пространства $X$ на нормированное пространство $Y$, то последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ полна в $X$ тогда и только тогда, когда $\left\{ T x_{n}\right\}$ полна в $Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства. Покажите, что если $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм, то $\left\| T^{-1}\right\|^{-1}\left\| x\right\| \leq \left\| T x\right\| \leq \left\| T\right\| \left\| x\right\|$ для всех $x \in X$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство. Предположим, что $L: X \rightarrow Y$ ограничен и линеен. Докажите эквивалентность следующих двух утверждений.

Для последовательности скаляров $\lambda = \left(\lambda_{k}\right)$ определим отображение $T_{\lambda }$ на последовательностях $x = \left(x_{k}\right)$ формулой $T_{\lambda } x = \left(\lambda_{k} x_{k}\right)$. Докажите следующие утверждения.

Пусть $X$ — банахово пространство. Для $T \in \mathcal{B}(X)$ определим $T^{0} = I$. Покажите, что если $\left\| T\right\| < 1$, то $I-T$ является топологическим изоморфизмом $X$ на себя, и $(I-T)^{-1} = \sum_{n = 0}^{\infty } T^{n}$, где ряд сходится по операторной норме (это называется рядом Неймана для $(I-T)^{-1}$).

Покажите, что если $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное линейное пространство, и $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм, то $Y$ — банахово пространство.

Докажите теорему 2.31.

Покажите, что оператор $A^{\dagger } = B^{-1} P$, определённый в теореме 2.33, удовлетворяет утверждениям (a)-(c) этой теоремы.

Предположим, что $A \in \mathcal{B}(H, K)$ имеет замкнутый образ, и пусть $A^{\dagger }$ — его псевдообратный оператор. Докажите следующие утверждения.

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Для положительно определённого оператора $A \in \mathcal{B}(H)$ докажите следующие утверждения.

Докажите утверждение теоремы 2.35 о том, что $|||\cdot |||$ является нормой на $X$, и что $X$ полно относительно этой нормы.

Используя теорему о замкнутом графике, дайте другое доказательство теоремы 2.24.

Используя теорему о замкнутом графике, дайте другое доказательство упражнения 2.34.

Пусть $C_{b}(\mathbb {R})$ и $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ такие же, как в упражнении 1.22, и предположим, что норма на обоих этих пространствах — равномерная норма. В этом случае $C_{b}(\mathbb {R})$ полно, но $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ — нет. Покажите, что оператор дифференцирования $D: C_{b}^{1}(\mathbb {R}) \rightarrow C_{b}(\mathbb {R})$, заданный формулой $D f = f^{\prime }$, неограничен, но имеет замкнутый график, то есть если $f_{n} \rightarrow f$ равномерно и $f_{n}^{\prime } \rightarrow g$ равномерно, то $f^{\prime } = g$.

Докажите пункт (b) теоремы 2.38.

В этом упражнении мы будем обозначать компоненты $x \in \ell^{p}$ через $x = (x(k))$.

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве $H$, то $x_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}} 0$.