Часть I

Основы функционального анализа

[132/99%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Содержание

1 · Банаховы пространства и теория операторов

2 · Функциональный анализ

Глава

1 · Банаховы пространства и теория операторов[80/99%]

Задача 1.1

Покажите, что если $\left\| \cdot \right\|$ — норма на скалярном поле $\mathbf{F}$ , то существует положительное число $\lambda > 0$ такое, что $\left\| x\right\| = \lambda \left|x\right|$ , где $\left|x\right|$ — абсолютная величина числа $x$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.2

(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Всякая сходящаяся последовательность в $X$ является последовательностью Коши, и предел сходящейся последовательности единствен.

(b)

Всякая последовательность Коши в $X$ ограничена.

(c)

(d)

Непрерывность нормы: $x_{n} \rightarrow x \Longrightarrow \left\| x_{n}\right\| \rightarrow \left\| x\right\|$ .

(e)

Непрерывность сложения векторов:

x_{n} \rightarrow x \text{ and } y_{n} \rightarrow y \quad \Longrightarrow \quad x_{n}+y_{n} \rightarrow x+y

(f)

Непрерывность умножения на скаляр:

x_{n} \rightarrow x \text{ and } c_{n} \rightarrow c \Longrightarrow c_{n} x_{n} \rightarrow c x

(g)

Выпуклость открытых шаров: если $x, y \in B_{r}(z)$ , то

\theta x+(1-\theta ) y \in B_{r}(z) \text{ for all } 0 \leq \theta \leq 1

Задача 1.3

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Предполагая, что функции $|\cdot |_{p}$ на $\mathbf{F}^{d}$ , заданные формулой (1.1), являются нормами на $\mathbf{F}^{d}$ , покажите, что любые две из этих норм эквивалентны.

(b)

Предполагая, что $\mathbf{F}$ полно относительно абсолютной величины, покажите, что $\mathbf{F}^{d}$ полно относительно любой из норм $|\cdot |_{p}$ .

Задача 1.4

Пусть $V$ — конечномерное векторное пространство. Докажите, что функция $\left\| \cdot \right\|_{1}$ на $V$ , определённая в примере 1.6, является нормой, и что $V$ полно относительно этой нормы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.5

Покажите, что если векторы $x_{n}$ в нормированном пространстве $X$ удовлетворяют условию $\left\| x_{n+1}-x_{n}\right\| < 2^{-n}$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , то $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность Коши в $X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.6

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в нормированном пространстве $X$ , и пусть $x \in X$ фиксирован. Предположим, что у каждой подпоследовательности $\left\{ y_{n}\right\}$ последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ есть подпоследовательность $\left\{ z_{n}\right\}$ последовательности $\left\{ y_{n}\right\}$ такая, что $z_{n} \rightarrow x$ . Покажите, что $x_{n} \rightarrow x$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.7

Пусть $X$ — комплексное банахово пространство. Пусть $X_{\mathbb {R}} = X$ как множество, но рассмотрим $X_{\mathbb {R}}$ как векторное пространство над полем вещественных чисел. То есть сложение векторов в $X_{\mathbb {R}}$ определяется так же, как и в $X$ , но умножение на скаляр в $X_{\mathbb {R}}$ ограничено умножением на вещественные скаляры. Пусть $\left\| \cdot \right\|_{\mathbb {R}} = \left\| \cdot \right\|$ , и покажите, что $(X_{\mathbb {R}},\left\| \cdot \right\|_{\mathbb {R}})$ — вещественное банахово пространство.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.8

(a)(b)(c)

Будем говорить, что множество $X$ (не обязательно векторное пространство) является метрическим пространством, если для каждых $x, y \in X$ существует вещественное число $\mathrm{d}(x, y)$ такое, что для всех $x, y$ , $z \in X$ выполняется: i. i. $\mathrm{d}(x, y) \geq 0$ , ii. $\mathrm{d}(x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$ , iii. $\mathrm{d}(x, y) = \mathrm{d}(y, x)$ , и iv. неравенство треугольника: $\mathrm{d}(x, y) \leq \mathrm{d}(x, z)+\mathrm{d}(y, z)$ .

В этом случае d называется метрикой на $X$ , а $\mathrm{d}(x, y)$ — расстоянием между $x$ и $y$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $X$ — нормированное пространство, то $\mathrm{d}(x, y) = \left\| x-y\right\|$ — метрика на $X$ .

(b)

Дайте определение сходящейся последовательности и последовательности Коши в метрическом пространстве и покажите, что всякая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши.

(c)

Назовём метрическое пространство полным, если всякая последовательность Коши в $X$ сходится к элементу $X$ . Пусть $X = \mathbb {Q}$ и $\mathrm{d}(x, y) = \left|x-y\right|$ — обычная абсолютная величина разности $x$ и $y$ . Покажите, что d — метрика на $\mathbb {Q}$ , но $\mathbb {Q}$ неполно относительно этой метрики.

Задача 1.9

(a)(b)(c)

Зафиксируем $0 < p < 1$ и определим $\ell^{p}$ формулой (1.2), а $\left\| \cdot \right\|_{\ell^{p}}$ — формулой (1.3).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\ell^{p}}$ не удовлетворяет неравенству треугольника и, следовательно, не является нормой на $\ell^{p}$ .

(b)

Покажите, что $\left\| x+y\right\|_{\ell^{p}}^{p} \leq \left\| x\right\|_{\ell^{p}}^{p}+\left\| y\right\|_{\ell^{p}}^{p}$ , и используйте это, чтобы показать, что $\ell^{p}$ является векторным пространством, а $\mathrm{d}(x, y) = \left\| x-y\right\|_{\ell^{p}}^{p}$ — метрика на $\ell^{p}$ .

(c)

Пусть $B = \left\{ x \in \ell^{p}: \mathrm{d}(x, 0) < 1\right\}$ — «открытый единичный шар» относительно метрики d, и покажите, что $B$ не выпукло. Используйте это, чтобы показать, что не существует нормы $\left\| \cdot \right\|$ на $\ell^{p}$ такой, что $\mathrm{d}(x, y) = \left\| x-y\right\|$ .

Задача 1.10

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $0 < \theta < 1$ , то $t^{\theta } \leq \theta t+(1-\theta )$ для $t \geq 0$ , с равенством тогда и только тогда, когда $t = 1$ .

(b)

Пусть $1 < p < \infty$ и $a, b \geq 0$ . Примените часть (a) при $t = a^{p} b^{-p^{\prime }}$ и $\theta = 1 / p$ , чтобы показать, что $a b \leq a^{p} / p+b^{p^{\prime }} / p^{\prime }$ , с равенством тогда и только тогда, когда $b = a^{p-1}$ .

Задача 1.11

Покажите, что равенство в неравенстве Гёльдера для последовательностей (часть (a) теоремы 1.12) выполняется тогда и только тогда, когда существуют скаляры $\alpha , \beta$ , не равные нулю одновременно, такие, что $\alpha \left|x_{k}\right|^{p} = \beta \left|y_{k}\right|^{p^{\prime }}$ для каждого $k \in I$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.12

Покажите, что если $1 \leq p < q \leq \infty$ , то $\ell^{p} \subsetneq \ell^{q}$ и $\left\| x\right\|_{\ell^{q}} \leq \left\| x\right\|_{\ell^{p}}$ для всех $x \in \ell^{p}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.13

Пусть $E \subseteq \mathbb {R}$ измеримо и $\left|E\right| < \infty$ . Покажите, что если $1 \leq p < q \leq \infty$ , то $L^{q}(E) \subsetneq L^{p}(E)$ и $\left\| f\right\|_{L^{p}} \leq \left|E\right|^{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}\left\| f\right\|_{L^{q}}$ для всех $f \in L^{p}(E)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.14

Покажите, что если $x \in \ell^{q}$ для некоторого конечного $q$ , то $\left\| x\right\|_{\ell^{p}} \rightarrow \left\| x\right\|_{\ell^{\infty }}$ при $p \rightarrow \infty$ , но это может не выполняться, если $x \notin \ell^{q}$ ни для какого конечного $q$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.15

Пусть дано произвольное множество индексов $I$ ; определим $\ell^{\infty }(I)$ как пространство всех ограниченных последовательностей $x = \left(x_{i}\right)_{i \in I}$ , индексированных $I$ , с $\left\| x\right\|_{\infty } = \sup_{i \in I}\left|x_{i}\right|$ . Для $1 \leq p < \infty$ пусть $\ell^{p}(I)$ состоит из всех последовательностей $x = \left(x_{i}\right)_{i \in I}$ не более чем со счётным числом ненулевых компонент, таких что $\left\| x\right\|_{\ell^{p}}^{p} = \sum \left|x_{i}\right|^{p} < \infty$ . Покажите, что каждое из этих пространств $\ell^{p}(I)$ является банаховым пространством относительно $\left\| \cdot \right\|_{\ell^{p}}$ . Чем является $\ell^{p}(I)$ , если $I = \left\{ 1, \ldots , d\right\}$ ?

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.16

(a)(b)

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства. Для $1 \leq p < \infty$ , $x \in X$ и $y \in Y$ определим $\left\| (x, y)\right\|_{p} = \left(\left\| x\right\|_{X}^{p}+\left\| y\right\|_{Y}^{p}\right)^{1 / p}$ и $\left\| (x, y)\right\|_{\infty } = \max \left\{ \left\| x\right\|_{X},\left\| y\right\|_{Y}\right\}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что $\left\| \cdot \right\|_{p}$ — норма на декартовом произведении $X \times Y$ , и что $\left\| \cdot \right\|_{p}$ и $\left\| \cdot \right\|_{q}$ — эквивалентные нормы на $X \times Y$ при любых $1 \leq p, q \leq \infty$ .

(b)

Покажите, что если $X$ и $Y$ — банаховы пространства, то $X \times Y$ является банаховым пространством относительно $\left\| \cdot \right\|_{p}$ .

Задача 1.17

(a)(b)(c)

Докажите лемму 1.16: Пусть $E$ — подмножество метрического пространства $X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$E$ замкнуто тогда и только тогда, когда $E$ содержит все свои предельные точки.

(b)

$\bar{E} = E \cup \left\{ x \in X: x\text{ — предельная точка }E\right\}$ . Следовательно, $E$ замкнуто тогда и только тогда, когда $E = \bar{E}$ .

(c)

$E$ плотно в $X$ тогда и только тогда, когда каждая точка $x \in X$ является предельной точкой $E$ .

Задача 1.18

Докажите лемму 1.17.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Лемма 1.17: Пусть $S$ — подпространство банахова пространства $X$ . Тогда $S$ является банаховым пространством относительно нормы $X$ тогда и только тогда, когда $S$ является замкнутым подмножеством $X$ .

Задача 1.19

Покажите, что если $f \in C_{b}(\mathbb {R})$ , то $\operatorname {ess}_{\sup }^{t \in \mathbb {R}}\left|f(t)\right| = \sup_{t \in \mathbb {R}}\left|f(t)\right|$ , и, следовательно, $\left\| f\right\|_{L^{\infty }} = \left\| f\right\|_{\infty }$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.20

(a)(b)(c)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $c$ и $c_{0}$ — замкнутые подпространства $\ell^{\infty }$ .

(b)

Покажите, что $c_{00}$ — собственное плотное подпространство $c_{0}$ и, следовательно, не замкнуто относительно нормы $\left\| \cdot \right\|_{\ell \infty }$ .

(c)

Пусть $\left\{ \delta_{n}\right\}$ обозначает последовательность стандартных базисных векторов (см. пример 1.30). Для $x = \left(x_{n}\right) \in c_{0}$ покажите, что $x = \sum x_{n} \delta_{n}$ , где ряд сходится по норме $\left\| \cdot \right\|_{\ell \infty }$ . Покажите далее, что скаляры $x_{n}$ в этом представлении единственны.

Задача 1.21

(a)(b)(c)(d)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $C_{b}(\mathbb {R})$ является банаховым пространством относительно равномерной нормы $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ .

(b)

Покажите, что $C_{0}(\mathbb {R})$ является замкнутым подпространством $C_{b}(\mathbb {R})$ .

(c)

Покажите, что $C_{c}(\mathbb {R})$ является собственным плотным подпространством $C_{0}(\mathbb {R})$ и, следовательно, не замкнуто относительно $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ .

(d)

Пусть $C(\mathbf{T})$ — множество всех непрерывных функций $f \in C(\mathbb {R})$ , являющихся 1-периодическими, т.е. $f(t+1) = f(t)$ для всех $t \in \mathbb {R}$ . Покажите, что $C(\mathbf{T})$ — замкнутое подпространство $C_{b}(\mathbb {R})$ .

Задача 1.22

(a)(b)

Пусть $C_{b}^{m}(\mathbb {R})$ — пространство всех $m$ раз дифференцируемых функций на $\mathbb {R}$ , каждая из производных которых ограничена и непрерывна, т.е.

C_{b}^{m}(\mathbb {R}) = \left\{ f \in C_{b}(\mathbb {R}): f, f^{\prime }, \ldots , f^{(m)} \in C_{b}(\mathbb {R})\right\} .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $C_{b}^{m}(\mathbb {R})$ является банаховым пространством относительно нормы

\left\| f\right\| _{C_{b}^{m}} = \left\| f\right\| _{\infty }+\left\| f^{\prime }\right\| _{\infty }+\cdots +\left\| f^{(m)}\right\| _{\infty }

и что

C_{0}^{m}(\mathbb {R}) = \left\{ f \in C_{0}(\mathbb {R}): f, f^{\prime }, \ldots , f^{(m)} \in C_{0}(\mathbb {R})\right\}

является подпространством $C_{b}^{m}(\mathbb {R})$ , которое также является банаховым пространством относительно той же нормы.

(b)

Теперь изменим норму на $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ . Покажите, что $(C_{b}^{1}(\mathbb {R}),\left\| \cdot \right\|_{\infty })$ — нормированное пространство, но не полное.

Задача 1.23

(a)(b)(c)

Будем говорить, что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbf{F}$ гёльдерова с показателем $\alpha > 0$ , если существует константа $K > 0$ такая, что

\forall x, y \in \mathbb {R}, \quad \left|f(x)-f(y)\right| \leq K\left|x-y\right|^{\alpha }

Функция, гёльдерова с показателем $\alpha = 1$ , называется липшицевой.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $f$ гёльдерова с некоторым $\alpha > 1$ , то $f$ постоянна.

(b)

Покажите, что если $f$ дифференцируема на $\mathbb {R}$ и $f^{\prime }$ ограничена, то $f$ липшицева. Найдите функцию $g$ , которая липшицева, но не дифференцируема в каждой точке.

(c)

Для $0 < \alpha < 1$ определим

C^{\alpha }(\mathbb {R}) = \left\{ f \in C(\mathbb {R}): f \text{ is Hölder continuous with exponent } \alpha \right\} \text{. }

Покажите, что $C^{\alpha }(\mathbb {R})$ является банаховым пространством относительно нормы

\left\| f\right\| _{C^{\alpha }} = \left|f(0)\right|+\sup _{x \neq y} \frac{f(x)-f(y)}{\left|x-y\right|^{\alpha }}

Задача 1.24

(a)(b)(c)

Рассмотрим две функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ , изображённые на рисунке 1.1. Функция $\varphi_{1}$ принимает постоянное значение $1 / 2$ на интервале $(1 / 3,2 / 3)$ , удаляемом на первом шаге построения классического канторова множества, разбитого на трети, и линейна на остальных интервалах. Функция $\varphi_{2}$ также принимает то же постоянное значение $1 / 2$ на интервале $(1 / 3,2 / 3)$ , но дополнительно постоянна со значениями $1 / 4$ и $3 / 4$ на двух интервалах $(1 / 9,2 / 9)$ и $(7 / 9,8 / 9)$ , удаляемых на втором шаге построения канторова множества. Продолжим этот процесс, определяя $\varphi_{3}, \varphi_{4}, \ldots$ , и докажем следующие факты.

$Рис. 1.1. Слева вверху: функция \varphi _{1}. Справа вверху: функция \varphi _{2}. Внизу: канторова лестница (функция Кантора–Лебега).$ Рис. 1.1. Слева вверху: функция \varphi _{1}. Справа вверху: функция \varphi _{2}. Внизу: канторова лестница (функция Кантора–Лебега).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Каждая $\varphi_{k}$ монотонно возрастает на $[0,1]$ , и $\left|\varphi_{k+1}(t)-\varphi_{k}(t)\right| < 2^{-k}$ для каждого $t \in [0,1]$ .

(b)

$\varphi (t) = \lim_{k \rightarrow \infty } \varphi_{k}(t)$ сходится равномерно на [0,1]. Предельная функция $\varphi$ называется функцией Кантора–Лебега, или, более образно, канторовой лестницей.

(c)

Функция Кантора–Лебега гёльдерова на интервале $[0,1]$ в точности для показателей $\alpha$ в диапазоне $0 < \alpha \leq \log_{3} 2 \approx 0.6309 \ldots$ . В частности, $\varphi$ непрерывна и монотонно возрастает на $[0,1]$ , но не липшицева. Тем не менее $\varphi$ дифференцируема при п.в. $t \in [0,1]$ , и $\varphi^{\prime }(t) = 0$ п.в.

Задача 1.25

(a)(b)(c)(d)(e)

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, не являющееся полным. Пусть $\mathcal{C}$ — множество всех последовательностей Коши в $X$ , и определим отношение $\sim$ на $\mathcal{C}$ , полагая $\left\{ x_{n}\right\} \sim \left\{ y_{n}\right\}$ , если $\lim_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}-y_{n}\right\| = 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\sim$ — отношение эквивалентности на $\mathcal{C}$ .

(b)

Пусть $\left[x_{n}\right] = \left\{ \left\{ y_{n}\right\} :\left\{ y_{n}\right\} \sim \left\{ x_{n}\right\} \right\}$ обозначает класс эквивалентности $\left\{ x_{n}\right\}$ по отношению $\sim$ . Пусть $\widetilde{X}$ — множество всех классов эквивалентности $\left[x_{n}\right]$ . Определим $\left\| \left[x_{n}\right]\right\|_{\widetilde{X}} = \lim_{n \rightarrow \infty }\left\| x_{n}\right\|$ . Докажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{X}}$ — корректно определённая норма на $\widetilde{X}$ .

(c)

Для $x \in X$ пусть $[x]$ обозначает класс эквивалентности последовательности Коши $\left\{ x, x, x, \ldots \right\}$ . Покажите, что $T: x \mapsto [x]$ — изометрическое отображение $X$ в $\widetilde{X}$ , где изометричность означает, что $\left\| T x\right\|_{\widetilde{X}} = \left\| x\right\|$ для каждого $x$ (см. определение 1.60). Покажите также, что $T(X)$ — плотное подпространство $\widetilde{X}$ (так что, в смысле отождествления $X$ с $T(X)$ , можно считать $X$ подпространством $\widetilde{X}$ ).

(d)

Покажите, что $\widetilde{X}$ является банаховым пространством относительно $\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{X}}$ . Назовём $\widetilde{X}$ пополнением $X$ .

(e)

Докажите, что $\widetilde{X}$ единственно в том смысле, что если $Y$ — банахово пространство и $U: X \rightarrow Y$ — линейная изометрия такая, что $U(X)$ плотно в $Y$ , то существует линейная изометрическая биекция $V: Y \rightarrow \widetilde{X}$ .

Задача 1.26

Пусть $\sum x_{n}$ и $\sum y_{n}$ — сходящиеся ряды в нормированном пространстве $X$ . Покажите, что $\sum \left(x_{n}+y_{n}\right)$ сходится и равен $\sum x_{n}+\sum y_{n}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.27

Покажите, что $C_{0}(\mathbb {R})$ сепарабельно.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.28

(a)(b)(c)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $X$ — нормированное линейное пространство и существует несчётное множество $S \subseteq X$ такое, что $\left\| x-y\right\| = 1$ для всех $x \neq y \in S$ , то $X$ не сепарабельно.

(b)

Пусть $D = \left\{ x = \left(x_{1}, x_{2}, \ldots \right) \in \ell^{\infty }: x_{k} = 0,1 \text{ for each } k\right\}$ . Покажите, что $D$ несчётно и что если $x, y$ — два различных вектора из $D$ , то $\left\| x-y\right\|_{\ell \infty } = 1$ . Заключите, что $\ell^{\infty }$ не сепарабельно.

(c)

Покажите, что $L^{\infty }(\mathbb {R})$ не сепарабельно.

Задача 1.29

Пусть $\left(c_{k}\right)_{k \geq 0}$ — фиксированная последовательность вещественных чисел. Покажите, что если ряд $\sum_{k = 0}^{\infty } c_{k} y^{k}$ сходится при некотором $y \in \mathbb {R}$ , то ряд $f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty } c_{k} x^{k}$ абсолютно сходится при всех $\left|x\right| < \left|y\right|$ , и покажите, что функция $f$ бесконечно дифференцируема при всех $x$ с $\left|x\right| < \left|y\right|$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.30

(a)(b)(c)

Матрица $A$ размера $n \times n$ называется положительно определённой, если $A x \cdot x > 0$ для всех $x \in \mathbf{F}^{n}$ (ср. определение 2.14).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $A$ — положительно определённая матрица размера $n \times n$ , то равенство (1.13) задаёт скалярное произведение на $\mathbf{F}^{d}$ .

(b)

Покажите, что если $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ — скалярное произведение на $\mathbf{F}^{d}$ , то существует положительно определённая матрица $A$ , для которой выполняется равенство (1.13).

(c)

Докажите, что все скалярные произведения на $\mathbf{F}^{d}$ , задаваемые равенством (1.13), эквивалентны.

Задача 1.31

(a)(b)(c)

Докажите лемму 1.36.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Поляризационное тождество: $\left\| f+g\right\|^{2} = \left\| f\right\|^{2}+2 \operatorname {Re} \left\langle f, g \right\rangle +\left\| g\right\|^{2}$ .

(b)

Теорема Пифагора: если $f \perp g$ , то $\left\| f \pm g\right\|^{2} = \left\| f\right\|^{2}+\left\| g\right\|^{2}$ .

(c)

Тождество параллелограмма: $\left\| f+g\right\|^{2}+\left\| f-g\right\|^{2} = 2\left\| f\right\|^{2}+2\left\| g\right\|^{2}$ .

Задача 1.32

Покажите, что при $p \neq 2$ норма $\left\| \cdot \right\|_{\ell^{p}}$ на $\ell^{p}$ не индуцирована никаким скалярным произведением на $\ell^{p}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.33

Покажите, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского-Шварца достигается тогда и только тогда, когда $x = c y$ или $y = c x$ для некоторого скаляра $c \in \mathbf{F}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.34

Скажем, что $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ является полускалярным произведением на векторном пространстве $H$ , если выполнены свойства (a), (c) и (d) определения 1.33. Докажите, что если $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ — полускалярное произведение, то $\left\| x\right\| = \left\langle x, x \right\rangle^{1 / 2}$ задаёт полунорму на $H$ , и $\left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \leq \left\| x\right\| \left\| y\right\|$ для всех $x, y \in H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.35

Пусть $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ и $x \in H$ . Докажите, что точка в $M$ , ближайшая к $x$ , единственна.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.36

Докажите лемму 1.42.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Лемма 1.42: Если $A$ — подмножество гильбертова пространства $H$ , то $A^{\perp }$ — замкнутое подпространство $H$ .

Задача 1.37

Докажите теорему 1.43.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 1.43: Пусть $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ и $x \in H$ . Тогда следующие утверждения равносильны: (a) $x = p+e$ , где $p$ — ортогональная проекция $x$ на $M$ ; (b) $x = p+e$ , где $p \in M$ и $e \in M^{\perp }$ ; (c) $x = p+e$ , где $e$ — ортогональная проекция $x$ на $M^{\perp }$ .

Задача 1.38

(a)(b)(c)

Докажите лемму 1.44.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Если $M$ — замкнутое подпространство $H$ , то $\left(M^{\perp }\right)^{\perp } = M$ .

(b)

Если $A$ — произвольное подмножество $H$ , то $A^{\perp } = \left(\operatorname {span}(A)\right)^{\perp } = \left(\overline{\operatorname {span}}(A)\right)^{\perp }$ , и $\left(A^{\perp }\right)^{\perp } = \overline{\operatorname {span}}(A)$ .

(c)

Последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в $H$ полна тогда и только тогда, когда: из $x \in H$ и $\left\langle x, x_{n} \right\rangle = 0$ для каждого $n$ следует $x = 0$ .

Задача 1.39

(a)(b)

Докажите лемму 1.46.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$M \oplus N$ — замкнутое подпространство $H$ .

(b)

$M \oplus M^{\perp } = H$ .

Задача 1.40

Пусть $H, K$ — гильбертовы пространства. Покажите, что $H \times K$ является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения $\left\langle \left(h_{1}, k_{1}\right), \left(h_{2}, k_{2}\right) \right\rangle = \left\langle h_{1}, h_{2} \right\rangle_{H}+ \left\langle k_{1}, k_{2} \right\rangle_{K}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.41

Докажите, что пополнение $\widetilde{H}$ (упражнение 1.25) пространства со скалярным произведением $H$ является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения, продолжающего скалярное произведение на $H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.42

Докажите оставшиеся части теорем 1.49 и 1.50.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.43

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $M$ — собственное замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ . Для $x \in H \backslash M$ пусть $p$ — ортогональная проекция $x$ на $M$ ; покажите, что вектор $y = (x-p) /\left\| x-p\right\|$ удовлетворяет $\left\| y\right\| = 1$ , $y \in M^{\perp }$ , и $\operatorname {dist}(y, M) = \inf_{m \in M}\left\| y-m\right\| = 1$ .

(b)

Покажите, что если $H$ — бесконечномерное гильбертово пространство, то в $H$ существует бесконечная ортонормированная последовательность $\left\{ e_{n}\right\}$ , никакая подпоследовательность $\left\{ e_{n_{k}}\right\}$ которой не является фундаментальной. Сопоставьте это с теоремой Больцано-Вейерштрасса, утверждающей, что каждая ограниченная последовательность в $\mathbf{F}^{d}$ имеет сходящуюся подпоследовательность.

Замечание Иными словами, эта задача показывает, что замкнутый единичный шар $D = \left\{ x \in H:\left\| x\right\| \leq 1\right\}$ в $H$ не является компактным, когда $H$ бесконечномерно.

Задача 1.44

(a)(b)

Это упражнение обобщает упражнение 1.43 на случай произвольного нормированного линейного пространства $X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите лемму Ф. Рисса: если $M$ — собственное замкнутое подпространство $X$ и $\varepsilon > 0$ , то существует $x \in X$ с $\left\| x\right\| = 1$ , такой что $\operatorname {dist}(x, M) = \inf_{m \in M}\left\| x-m\right\| > 1-\varepsilon$ .

(b)

Докажите, что если $X$ бесконечномерно, то в $X$ существует ограниченная последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ , не имеющая сходящихся подпоследовательностей (следовательно, замкнутый единичный шар $D = \left\{ x \in X:\left\| x\right\| \leq 1\right\}$ никогда не компактен в бесконечномерном банаховом пространстве).

Задача 1.45

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — конечно линейно независимая последовательность в гильбертовом пространстве $H$ . Покажите, что существует ортогональная последовательность $\left\{ y_{n}\right\}$ в $H$ , такая что $\operatorname {span}\left\{ y_{1}, \ldots , y_{N}\right\} = \operatorname {span}\left\{ x_{1}, \ldots , x_{N}\right\}$ для каждого $N \in \mathbb {N}$ (это процедура ортогонализации Грама-Шмидта).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.46

(a)(b)

Будем говорить, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ в банаховом пространстве $X$ является $\omega$ -зависимой, если существуют скаляры $c_{n}$ , не все равные нулю, такие что $\sum c_{n} x_{n} = 0$ , где ряд сходится по норме $X$ . Последовательность $\omega$ -независима, если она не является $\omega$ -зависимой (более подробно $\omega$ -независимые последовательности изучаются в главе 5).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — базис гильбертова пространства $H$ , то $\left\{ x_{n}\right\}$ $\omega$ -независима.

(b)

Пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {C}$ — фиксированные ненулевые скаляры, такие что $\left|\alpha / \beta \right| > 1$ . Пусть $\left\{ \delta_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — стандартный базис $\ell^{2}$ , и определим $x_{0} = \delta_{1}$ и $x_{n} = \alpha \delta_{n}+\beta \delta_{n+1}$ для $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}_{n \geq 0}$ полна и конечно независима в $\ell^{2}$ , но не является $\omega$ -независимой и, следовательно, не является базисом $\ell^{2}$ .

Задача 1.47

(a)(b)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве $H$ . Докажите эквивалентность следующих двух утверждений.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Для каждого $m \in \mathbb {N}$ имеем $x_{m} \notin \overline{\operatorname {span}}\left\{ x_{n}\right\}_{n \neq m}$ (такая последовательность называется минимальной).

(b)

Существует последовательность $\left\{ y_{n}\right\}$ в $H$ , такая что $\left\langle x_{m}, y_{n} \right\rangle = \delta_{m n}$ для всех $m, n \in \mathbb {N}$ (последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$ , удовлетворяющие этому условию, называются биортогональными).

Покажите далее, что в случае выполнения этих условий последовательность $\left\{ y_{n}\right\}$ единственна тогда и только тогда, когда $\left\{ x_{n}\right\}$ полна.

Замечание Лемма 5.4 устанавливает аналогичный результат для банаховых пространств.

Задача 1.48

Пусть $\psi = \chi_{[0,1 / 2)}-\chi_{[1 / 2,1)}$ — вейвлет Хаара. Вычислите коэффициенты Фурье функции $\psi$ и, применив равенство Планшереля, покажите, что $\frac{\pi^{2}}{8} = \sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.49

Это упражнение даёт вещественнозначный аналог ортонормированного базиса $\left\{ e^{2 \pi i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ для комплексного $L^{2}(\mathbf{T})$ , рассмотренного в примере 1.52. Пусть вещественное $L^{2}(\mathbf{T})$ состоит из всех вещественнозначных, 1-периодических функций на $\mathbb {R}$ , интегрируемых с квадратом на $[0,1]$ . Считая известным, что $\left\{ e^{2 \pi i n t}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ полна в комплексном $L^{2}(\mathbf{T})$ , покажите, что $\left\{ 1\right\} \cup \left\{ \sqrt{2} \sin 2 \pi n t\right\}_{n \in \mathbb {N}} \cup \left\{ \sqrt{2} \cos 2 \pi n t\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ образует ортонормированный базис вещественного $L^{2}(\mathbf{T})$ , если взять $\mathbf{F} = \mathbb {R}$ , и образует ортонормированный базис комплексного $L^{2}(\mathbf{T})$ , если взять $\mathbf{F} = \mathbb {C}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.50

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Докажите, что система Хаара, рассмотренная в замечании 1.55(a), является ортонормированным базисом $L^{2}(\mathbb {R})$ .

(b)

Докажите, что система Хаара, заданная в замечании 1.55(b), является ортонормированным базисом $L^{2}[0,1]$ .

Задача 1.51

(a)(b)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства $H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $\sum \left\| x_{n}-y_{n}\right\|^{2} < 1$ , то $\left\{ y_{n}\right\}$ полна в $H$ .

(b)

Покажите, что это заключение может не выполняться, если $\sum \left\| x_{n}-y_{n}\right\|^{2} = 1$ .

Задача 1.52

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве $H$ . Для вектора $x \in H$ покажите, что $x \in \overline{\operatorname {span}}\left\{ x_{n}\right\}$ тогда и только тогда, когда $\left\| x\right\|^{2} = \sum \left| \left\langle x, x_{n} \right\rangle \right|^{2}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.53

Пусть $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ . Если $M$ конечномерно, обозначим через $\operatorname {dim}(M)$ его размерность, в противном случае положим $\operatorname {dim}(M) = \infty$ . Пусть $P$ — ортогональная проекция $H$ на $M$ . Покажите, что если $\left\{ e_{n}\right\}$ — произвольный ортонормированный базис $H$ , то $\sum \left\| P e_{n}\right\|^{2} = \operatorname {dim}(M)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.54

Этот результат принадлежит Витали. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ортонормированная последовательность в $L^{2}[a, b]$ . Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ полна тогда и только тогда, когда

\sum _{n = 1}^{\infty }\left|\int _{a}^{x} f_{n}(t) d t\right|^{2} = x-a, \quad x \in [a, b]

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.55

(a)(b)

Используя критерий Витали (упражнение 1.54), докажите эквивалентность следующих двух утверждений.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Тригонометрическая система $\left\{ e^{2 \pi i n x}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ полна в $L^{2}(\mathbf{T})$ .

(b)

$\sum_{n = 1}^{\infty } \frac{1-\cos 2 \pi n x}{\pi^{2} n^{2}} = x-x^{2}$ для $x \in [0,1]$ .

Замечание Если предположить справедливость формулы Эйлера

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6}

то утверждение (b) сводится к

\sum _{n = 1}^{\infty } \frac{\cos 2 \pi n x}{\pi ^{2} n^{2}} = x^{2}-x+\frac{1}{6}, \quad x \in [0,1] \tag {1.15}

Обратно, равенство (1.15) влечёт формулу Эйлера при $x = 0$ . Доказательство равенства (1.15) см. в упражнении 13.25.

Задача 1.56

Этот результат принадлежит Дальцеллу. Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ортонормированная последовательность в $L^{2}[a, b]$ . Покажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ полна тогда и только тогда, когда

\sum _{n = 1}^{\infty } \int _{a}^{b}\left|\int _{a}^{x} f_{n}(t) d t\right|^{2} = \frac{(b-a)^{2}}{2}

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.57

Этот результат принадлежит Боасу и Полларду [BP48]. Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}_{n \in \mathbb {N}}$ — ортонормированный базис $L^{2}[a, b]$ . Покажите, что существует функция $m \in L^{\infty }[a, b]$ , такая что $\left\{ m f_{n}\right\}_{n \geq 2}$ полна в $L^{2}[a, b]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.58

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Покажите, что если $H$ содержит несчётное ортонормированное подмножество, то $H$ не сепарабельно.

(b)

Докажите, что пространство $\ell^{2}(\mathbb {R})$ , определённое в примере 1.57, является гильбертовым пространством. Для $t \in \mathbb {R}$ определим $e_{t}(t) = 1$ и $e_{t}(i) = 0$ при $i \neq t$ . Покажите, что $\left\{ e_{t}\right\}_{t \in \mathbb {R}}$ — полная несчётная ортонормированная система в $\ell^{2}(\mathbb {R})$ , и сделайте вывод, что $\ell^{2}(\mathbb {R})$ несепарабельно.

Задача 1.59

Для каждого $\xi \in \mathbb {R}$ определим функцию $e_{\xi }: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ формулой $e_{\xi }(t) = e^{2 \pi i \xi t}$ . Пусть $H = \operatorname {span}\left\{ e_{\xi }\right\}_{\xi \in \mathbb {R}}$ , то есть $H$ состоит из всех конечных линейных комбинаций функций $e_{\xi }$ . Покажите, что

\left\langle f, g \right\rangle = \lim _{T \rightarrow \infty } \frac{1}{2 T} \int _{-T}^{T} f(t) \overline{g(t)} d t, \quad f, g \in H

задаёт скалярное произведение на $H$ , и что $\left\{ e_{\xi }\right\}_{\xi \in \mathbb {R}}$ — несчётная ортонормированная система в $H$ .

Замечание Пополнение $\widetilde{H}$ пространства $H$ — важный пример несепарабельного гильбертова пространства. В частности, оно содержит класс почти периодических функций [Kat04] и играет важную роль в теории обобщённого гармонического анализа Винера [Wie33]. Поскольку $\operatorname {span}\left\{ e_{\xi }\right\}_{\xi \in \mathbb {R}} = H$ и $H$ плотно в $\widetilde{H}$ , система $\left\{ e_{\xi }\right\}_{\xi \in \mathbb {R}}$ является полной ортонормированной системой в $\widetilde{H}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.60

Докажите теорему 1.59.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 1.59: Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, и пусть задано $f: X \rightarrow Y$ . Тогда $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда $f^{-1}(V)$ открыто в $X$ для каждого открытого множества $V \subseteq Y$ .

Задача 1.61

Докажите теорему 1.61.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 1.61: Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и пусть $L: X \rightarrow Y$ — линейный оператор. (a) $L(0) = 0$ , и $L$ инъективен тогда и только тогда, когда $\ker L = \left\{ 0\right\}$ ; в частности, если $L$ — изометрия, то она инъективна. (b) Если $L$ — биекция, то обратное отображение $L^{-1}: Y \rightarrow X$ также является линейной биекцией. (c) $L$ ограничен тогда и только тогда, когда $\left\| L\right\| < \infty$ . (d) Если $L$ ограничен, то $\left\| L x\right\| \leq \left\| L\right\| \left\| x\right\|$ для $x \in X$ , и $\left\| L\right\|$ — наименьшее вещественное число $K$ , такое что $\left\| L x\right\| \leq K\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$ . (e) $\left\| L\right\| = \sup_{\left\| x\right\| \leq 1}\left\| L x\right\| = \sup_{x \neq 0} \left\| L x\right\| /\left\| x\right\|$ .

Задача 1.62

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, и $L: X \rightarrow Y$ непрерывен. Покажите, что $\operatorname {ker}(L)$ — замкнутое подпространство $X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.63

Пусть $X$ — нормированное пространство и $L \in \mathcal{B}(X)$ . Покажите, что если $\lambda$ — собственное значение $L$ , то $\left|\lambda \right| \leq \left\| L\right\|$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.64

(a)(b)(c)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Определим $L: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой $L(x) = \left(x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$ . Докажите, что этот оператор левого сдвига ограничен, линеен, сюръективен, не инъективен, не является изометрией, и удовлетворяет $\left\| L\right\| = 1$ . Найдите все собственные значения и собственные векторы $L$ .

(b)

Определим $R: \ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ формулой $R(x) = \left(0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right)$ . Докажите, что этот оператор правого сдвига ограничен, линеен, инъективен, не сюръективен, и является изометрией. Найдите все собственные значения и собственные векторы $R$ .

(c)

Вычислите $L R$ и $R L$ и покажите, что $L R \neq R L$ . Сопоставьте это с тем фактом, что в конечномерном случае, если $A, B: \mathbf{F}^{n} \rightarrow \mathbf{F}^{n}$ — линейные отображения (то есть соответствуют умножению на матрицы размера $n \times n$ ), то $A B = I$ тогда и только тогда, когда $B A = I$ .

Задача 1.65

(a)(b)

Напомним из упражнения 1.22, что $C_{b}(\mathbb {R})$ является банаховым пространством относительно равномерной нормы $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ , а $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ является банаховым пространством относительно нормы $\left\| f\right\|_{C_{b}^{1}} = \left\| f\right\|_{\infty }+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Определим $D: C_{b}^{1}(\mathbb {R}) \rightarrow C_{b}(\mathbb {R})$ формулой $D f = f^{\prime }$ , и покажите, что $D$ — ограниченный оператор.

(b)

Пусть $D: C_{b}^{1}(\mathbb {R}) \rightarrow C_{b}(\mathbb {R})$ — тот же оператор, что и в пункте (a), но норма на $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ заменена на $L^{\infty }$ -норму. Покажите, что теперь $D$ является неограниченным оператором.

Задача 1.66

(a)(b)(c)(d)

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства $H$ , и зафиксируем последовательность скаляров $\lambda = \left(\lambda_{n}\right) \in \ell^{\infty }$ . Определим

M_{\lambda } x = \sum _{n = 1}^{\infty } \lambda _{n} \left\langle x, e_{n} \right\rangle e_{n}, \quad x \in H,

и докажите следующие факты.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$M_{\lambda }$ — ограниченное отображение $H$ в себя, и его операторная норма равна $\left\| M_{\lambda }\right\| = \left\| \lambda \right\|_{\ell^{\infty }}$ .

(b)

Каждое $\lambda_{n}$ является собственным значением $M_{\lambda }$ с соответствующим собственным вектором $e_{n}$ .

(c)

$M_{\lambda }$ инъективен тогда и только тогда, когда $\lambda_{n} \neq 0$ для всех $n$ .

(d)

$M_{\lambda }$ сюръективен тогда и только тогда, когда $\inf_{n}\left|\lambda_{n}\right| > 0$ . Более того, если $\inf \left|\lambda_{n}\right| = 0$ , но $\lambda_{n} \neq 0$ для всех $n$ , то $\operatorname {range}\left(M_{\lambda }\right)$ — плотное, но собственное подпространство $H$ .

Задача 1.67

Пусть $E \subseteq \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу, и выберем $1 \leq p < \infty$ и $m \in L^{\infty }(\mathbb {R})$ . Определим $T_{m}: L^{p}(\mathbb {R}) \rightarrow L^{p}(\mathbb {R})$ формулой $T_{m} f = f m$ , то есть поточечным умножением $f$ на функцию $m$ . Покажите, что $T_{m}$ ограничен и $\left\| T_{m}\right\| = \left\| m\right\|_{\infty }$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.68

Докажите теорему 1.66.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 1.66: Если $V$ — конечномерное векторное пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство, то любой линейный оператор $T: V \rightarrow Y$ ограничен.

Задача 1.69

(a)(b)(c)

Заполните детали и завершите доказательство теоремы 1.67: пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\mathcal{B}(X,Y)$ — нормированное линейное пространство относительно операторной нормы.

(b)

Если $Y$ — банахово пространство, то $\mathcal{B}(X,Y)$ — банахово пространство относительно операторной нормы.

(c)

Операторная норма субмультипликативна, т.е. если $A \in \mathcal{B}(X,Y)$ и $B \in \mathcal{B}(Y,Z)$ , то $BA \in \mathcal{B}(X,Z)$ и $\left\| BA\right\| \leq \left\| B\right\| \left\| A\right\|$ .

Задача 1.70

(a)(b)

Пусть $A$ — матрица размера $m \times n$ с элементами из $\mathbf{F}$ , которую мы рассматриваем как линейный оператор $A: \mathbf{F}^{n} \rightarrow \mathbf{F}^{m}$ . Операторная норма $A$ зависит от выбора нормы на $\mathbf{F}^{n}$ и $\mathbf{F}^{m}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если норма на $\mathbf{F}^{n}$ и $\mathbf{F}^{m}$ есть $\left\| \cdot \right\|_{1}$ , то

\left\| A\right\| = \max _{j = 1, \ldots , n}\left\{ \sum _{i = 1}^{m}\left|a_{i j}\right|\right\}

(b)

Покажите, что если норма на $\mathbf{F}^{n}$ и $\mathbf{F}^{m}$ есть $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ , то

\left\| A\right\| = \max _{i = 1, \ldots , m}\left\{ \sum _{j = 1}^{n}\left|a_{i j}\right|\right\}

Задача 1.71

Покажите, что если $H, K$ — сепарабельные гильбертовы пространства, то $H$ и $K$ изометрически изоморфны.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.72

Пусть $Y$ — плотное подпространство нормированного пространства $X$ , и пусть $Z$ — банахово пространство. Для $L \in \mathcal{B}(Y, Z)$ покажите, что существует единственный оператор $\widetilde{L} \in \mathcal{B}(X, Z)$ , ограничение которого на $Y$ равно $L$ . Докажите, что $\left\| \widetilde{L}\right\| = \left\| L\right\|$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.73

Завершите доказательство теоремы 1.73 для $p = 1$ и $p = \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.74

Пусть $X$ — нормированное пространство. Для $\mu \in X^{*}, \mu \neq 0$ , покажите, что если $z \notin \operatorname {ker}(\mu )$ , то каждый $x \in X$ можно единственным образом записать в виде $x = y+c z$ , где $y \in \operatorname {ker}(\mu )$ и $c \in \mathbf{F}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.75

Для $y = \left(y_{k}\right) \in \ell^{1}$ определим $\mu_{y}: c_{0} \rightarrow \mathbf{F}$ формулой $\left\langle x, \mu_{y} \right\rangle = \sum x_{k} y_{k}$ . Покажите, что отображение $y \mapsto \mu_{y}$ является изометрическим изоморфизмом $\ell^{1}$ на $c_{0}{ }^{*}$ . Таким образом, $c_{0}{ }^{*} \cong \ell^{1}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.76

Пусть $X$ — нормированное пространство, и предположим, что ряд $x = \sum x_{n}$ сходится в $X$ . Покажите, что если $\mu \in X^{*}$ , то $\sum \left\langle x_{n}, \mu \right\rangle$ — сходящийся ряд скаляров, и $\left\langle x, \mu \right\rangle = \sum \left\langle x_{n}, \mu \right\rangle$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.77

(a)(b)(c)

Докажите теорему 1.75: для $h \in H$ определим $\mu_{h}: H \rightarrow \mathbf{F}$ формулой $\mu_{h}(f) = \left\langle f, h \right\rangle$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\mu_{h} \in H^{*}$ и $\left\| \mu_{h}\right\| = \left\| h\right\|$ для каждого $h \in H$ .

(b)

Для каждого $\mu \in H^{*}$ существует $h \in H$ , такой что $\mu = \mu_{h}$ .

(c)

Заключите, что отображение $h \mapsto \mu_{h}$ является антилинейной биективной изометрией $H$ на $H^{*}$ .

Задача 1.78

Зафиксируем $1 \leq p \leq \infty$ , и пусть $y = \left(y_{n}\right)$ — фиксированная последовательность скаляров. Используя теорему 1.73, покажите, что существует константа $C$ , такая что $\left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \leq C\left\| x\right\|_{\ell^{p}}$ для всех финитных последовательностей $x \in c_{00}$ тогда и только тогда, когда $y \in \ell^{p^{\prime }}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.79

Пусть $\mu$ — линейный функционал на нормированном пространстве $X$ . Докажите, что

\mu \text{ ограничен } \Longleftrightarrow \operatorname {ker}(\mu ) \text{ замкнуто. }

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 1.80

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства. Тогда, по упражнению 1.16, декартово произведение $X \times Y$ является нормированным пространством относительно нормы $\left\| (x, y)\right\|_{\infty } = \max \left\{ \left\| x\right\| ,\left\| y\right\| \right\}$ . Аналогично, $X^{*} \times Y^{*}$ нормировано относительно $\left\| \left(x^{*}, y^{*}\right)\right\|_{1} = \left\| x^{*}\right\| +\left\| y^{*}\right\|$ . Покажите, что при таком выборе норм $(X \times Y)^{*}$ изометрически изоморфно $X^{*} \times Y^{*}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Глава

2 · Функциональный анализ[52/100%]

Задача 2.1

Пусть $M$ — подпространство гильбертова пространства $H$ , и зафиксируем $\lambda \in M$ . Покажите непосредственно, что существует $\Lambda \in H$ , такой что $\left\langle x, \Lambda \right\rangle = \left\langle x, \lambda \right\rangle$ для всех $x \in M$ и $\left\| \Lambda \right\| = \left\| \lambda \right\|$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.2

Предположим, что $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ , $x_{0} \in H \backslash M$ , и $d = \operatorname {dist}\left(x_{0}, M\right)$ . Покажите непосредственно, что существует $\mu \in H$ , такой что $\left\langle x_{0}, \mu \right\rangle = 1, \left\langle x, \mu \right\rangle = 0$ для всех $x \in M$ , и $\left\| \mu \right\| = 1 / d$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.3

(a)(b)

Пусть $X$ — нормированное пространство.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $X^{*}$ сепарабельно, то $X$ сепарабельно.

(b)

Покажите, что обратное может не выполняться.

Задача 2.4

Теорема Вейерштрасса об аппроксимации влечёт, что $\left\{ x^{k}\right\}_{k \geq 0}$ полна в $C[0,1]$ . Покажите, что $\left\{ x^{2 k}\right\}_{k \geq 0}$ также полна в $C[0,1]$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.5

Для подмножества $A$ нормированного пространства $X$ определим его ортогональное дополнение $A^{\perp } \subseteq X^{*}$ формулой

A^{\perp } = \left\{ \mu \in X^{*}: \left\langle x, \mu \right\rangle = 0 \text{ for all } x \in A\right\}

Докажите, что $A^{\perp }$ — замкнутое подпространство $X^{*}$ , и объясните, как это связано со следствием 2.5.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.6

Пусть $S$ — подпространство нормированного пространства $X$ ; покажите, что его замыкание $\bar{S}$ даётся формулой

\bar{S} = \bigcap \left\{ \operatorname {ker}(\mu ): \mu \in X^{*} \text{ and } S \subseteq \operatorname {ker}(\mu )\right\} .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.7

Покажите, что $\ell^{p}$ рефлексивно при каждом $1 < p < \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.8

Пусть $X$ — банахово пространство. Покажите, что если $X$ сепарабельно, а $X^{*}$ нет, то $X$ не рефлексивно. Используя это, покажите, что $\ell^{1}$ — собственное подпространство $\left(\ell^{\infty }\right)^{*}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.9

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства. Для $T \in \mathcal{B}(X, Y)$ покажите, что существует единственный оператор $T^{*} \in \mathcal{B}\left(Y^{*}, X^{*}\right)$ , удовлетворяющий равенству (2.4).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.10

Пусть $X$ — банахово пространство. Для $\mu \in X^{*} = \mathcal{B}(X, \mathbf{F})$ явно опишите его сопряжённый оператор $\mu^{*}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.11

Пусть $M$ — замкнутое подпространство $M$ нормированного пространства $X$ , и зафиксируем $L \in \mathcal{B}(X)$ . Будем говорить, что $M$ инвариантно относительно $L$ , если $L(M) \subseteq M$ . Покажите, что если $M \subseteq X$ инвариантно относительно $L$ , то $M^{\perp }$ инвариантно относительно $L^{*}$ , где $M^{\perp }$ — ортогональное дополнение, определённое в упражнении 2.5.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.12

Предположим, что $M$ — замкнутое подпространство банахова пространства $X$ . Пусть $\epsilon : M \rightarrow X$ — отображение вложения, то есть $\epsilon (x) = x$ для $x \in M$ . Покажите, что $\epsilon^{*}: X^{*} \rightarrow M^{*}$ — отображение ограничения, то есть если $\mu \in X^{*}$ , то $\epsilon^{*} \mu = \left.\mu \right|_{M}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.13

Пусть $A: \mathbb {C}^{n} \rightarrow \mathbb {C}^{m}$ — линейный оператор, который мы отождествляем с его матричным представлением размера $m \times n$ . Покажите, что сопряжённый к $A$ в гильбертовом смысле (определение 2.10) — это эрмитово-сопряжённая матрица $A^{*} = \overline{A^{\mathrm{T}}}$ , тогда как сопряжённый к $A$ в банаховом смысле (определение 2.8) — это транспонированная матрица $A^{\mathrm{T}}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.14

Пусть $L, R$ — операторы левого и правого сдвига на $\ell^{2}$ , определённые в упражнении 1.64. Покажите, что $R = L^{*}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.15

Зафиксируем $\lambda \in \ell^{\infty }$ , и пусть $M_{\lambda }$ — оператор умножения, определённый в упражнении 1.66. Найдите $M_{\lambda }^{*}$ , и определите, когда $M_{\lambda }$ самосопряжён, положителен или положительно определён.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.16

Докажите теорему 2.13.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 2.13: Пусть $H, K, L$ — гильбертовы пространства, и зафиксируем $A \in \mathcal{B}(H, K)$ и $B \in \mathcal{B}(K, L)$ . (a) $(A^{*})^{*} = A$ . (b) $(B A)^{*} = A^{*} B^{*}$ . (c) $\ker (A) = \operatorname {range}(A^{*})^{\perp }$ . (d) $\ker (A)^{\perp } = \overline{\operatorname {range}(A^{*})}$ . (e) $A$ инъективен тогда и только тогда, когда $\operatorname {range}(A^{*})$ плотно в $H$ . (f) $\left\| A\right\| = \left\| A^{*}\right\| = \left\| A^{*} A\right\|^{1 / 2} = \left\| A A^{*}\right\|^{1 / 2}$ .

Задача 2.17

Пусть $M$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $H$ , и пусть дан $P \in \mathcal{B}(H)$ . Покажите, что $P$ является ортогональной проекцией $H$ на $M$ тогда и только тогда, когда $P^{2} = P$ , $P^{*} = P$ , и $\operatorname {range}(P) = M$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.18

(a)(b)(c)

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и предположим, что $A, B \in \mathcal{B}(H)$ самосопряжены.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $A B A$ и $B A B$ самосопряжены.

(b)

Покажите, что $A B$ самосопряжён тогда и только тогда, когда $A B = B A$ .

(c)

Приведите пример самосопряжённых операторов $A, B$ , которые не коммутируют.

Задача 2.19

(a)(b)(c)

Пусть $H$ — гильбертово пространство, и зафиксируем $A \in \mathcal{B}(H)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $A$ самосопряжён, то все собственные значения $A$ вещественны, а собственные векторы $A$ , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

(b)

Покажите, что если $A$ — положительный оператор, то все собственные значения $A$ вещественны и неотрицательны.

(c)

Покажите, что если $A$ — положительно определённый оператор, то все собственные значения $A$ вещественны и строго положительны.

Задача 2.20

Пусть $H, K$ — гильбертовы пространства. Покажите, что если $A \in \mathcal{B}(H, K)$ , то $A^{*} A \in \mathcal{B}(H)$ и $A A^{*} \in \mathcal{B}(K)$ — положительные операторы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.21

(a)(b)

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Для $A \in \mathcal{B}(H)$ ,

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

покажите, что $\operatorname {ker}(A) = \operatorname {ker}\left(A^{*} A\right)$ .

(b)

покажите, что $\overline{\operatorname {range}\left(A^{*} A\right)} = \overline{\operatorname {range}\left(A^{*}\right)}$ .

Задача 2.22

Пусть $H, K$ — гильбертовы пространства, и зафиксируем $U \in \mathcal{B}(H, K)$ . Покажите, что $U$ унитарен тогда и только тогда, когда $U$ — биекция и $U^{-1} = U^{*}$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.23

(a)(b)(c)(d)(e)

Заполните детали в доказательстве теоремы 2.18.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\left\| A\right\| \leq 1$ , когда $A$ самосопряжён и $0 \leq A \leq I$ .

(b)

Покажите, что при $0 < t < \left\| A\right\|^{-1}$ имеем $t A \leq I$ ; следовательно, $A$ обладает квадратным корнем тогда и только тогда, когда $t A$ обладает квадратным корнем.

(c)

Покажите по индукции, что $T_{n+1}-T_{n}$ — многочлен от $B = I-A$ со всеми неотрицательными коэффициентами.

(d)

Покажите, что $\left\| T_{n}\right\| \leq 1$ для каждого $n$ , так что $\left( \left\langle T_{n} x, x \right\rangle \right)$ — ограниченная, возрастающая последовательность.

(e)

Покажите, что предельный оператор $T$ (где $T x = \lim_{n \rightarrow \infty } T_{n} x$ ) линеен и ограничен (и, следовательно, положителен).

Задача 2.24

(a)(b)

Пусть $A$ — положительный оператор на гильбертовом пространстве $H$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что $\left\langle A x, x \right\rangle = 0$ тогда и только тогда, когда $A x = 0$ .

(b)

Покажите, что оператор $A^{1 / 2}$ , построенный в теореме 2.18, единственен, то есть существует лишь один положительный оператор $S$ , удовлетворяющий $S^{2} = A$ .

Задача 2.25

Докажите лемму 2.20.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Лемма 2.20: Пусть $E$ — непустое подмножество банахова пространства $X$ . Тогда $E$ нигде не плотно тогда и только тогда, когда $E$ не содержит непустых открытых подмножеств.

Задача 2.26

Покажите, что $C_{c}(\mathbb {R})$ — тощее (первой категории) подмножество $C_{0}(\mathbb {R})$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.27

Предположим, что $f$ — бесконечно дифференцируемая функция на $\mathbb {R}$ , такая что для каждого $t \in \mathbb {R}$ найдётся целое число $n_{t} \geq 0$ , для которого $f^{\left(n_{t}\right)}(t) = 0$ . Докажите, что существует открытый интервал $(a, b)$ и многочлен $p$ , такие что $f(t) = p(t)$ для всех $t \in (a, b)$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.28

Пусть $D$ — подмножество $C[0,1]$ , состоящее из всех функций $f \in C[0,1]$ , имеющих правостороннюю производную хотя бы в одной точке $[0,1]$ . Покажите, что $D$ тощее в $C[0,1]$ , и сделайте вывод, что в $C[0,1]$ существуют функции, не дифференцируемые ни в одной точке.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.29

Докажите теорему 2.23.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Примечание.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Теорема 2.23 (теорема Банаха--Штейнгауза): Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Если $A_{n} \in \mathcal{B}(X, Y)$ для $n \in \mathbb {N}$ и $A x = \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n} x$ существует для каждого $x \in X$ , то $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ и $\left\| A\right\| \leq \sup_{n}\left\| A_{n}\right\| < \infty$ .

Задача 2.30

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$ , и пусть $P_{N}$ — ортогональная проекция $H$ на $\operatorname {span}\left\{ e_{1}, \ldots , e_{N}\right\}$ . Покажите, что $P_{N} x \rightarrow x$ для каждого $x \in H$ , но $\left\| I-P_{N}\right\| \nrightarrow 0$ при $N \rightarrow \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.31

(a)(b)

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства. Предположим, что $A_{n} \in \mathcal{B}(X, Y)$ для $n \in \mathbb {N}$ , и $A x = \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n} x$ существует для каждого $x$ из плотного подпространства $S$ пространства $X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Покажите, что если $\sup_{n}\left\| A_{n}\right\| < \infty$ , то $A$ продолжается до ограниченного отображения на $X$ , и $A x = \lim_{n \rightarrow \infty } A_{n} x$ для всех $x \in X$ .

(b)

Приведите пример, показывающий, что предположение $\sup_{n}\left\| A_{n}\right\| < \infty$ в пункте (a) необходимо.

Задача 2.32

Докажите теорему 2.24 для случаев $p = 1$ и $p = \infty$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.33

(a)(b)

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Пусть $X$ — банахово пространство. Покажите, что $S \subseteq X^{*}$ ограничено тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left| \left\langle x, x^{*} \right\rangle \right|: x^{*} \in S\right\} < \infty$ для каждого $x \in X$ .

(b)

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Покажите, что $S \subseteq X$ ограничено тогда и только тогда, когда $\sup \left\{ \left| \left\langle x, x^{*} \right\rangle \right|: x \in S\right\} < \infty$ для каждого $x^{*} \in X^{*}$ .

Задача 2.34

(a)(b)

Зафиксируем $1 \leq p, q \leq \infty$ . Пусть $A = \left[a_{i j}\right]_{i, j \in \mathbb {N}}$ — бесконечная матрица, и положим $a_{i} = \left(a_{i j}\right)_{j \in \mathbb {N}}$ для каждого $i \in \mathbb {N}$ . Предположим, что

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$(A x)_{i} = \left\langle x, a_{i} \right\rangle = \sum_{j} a_{i j} x_{j}$ сходится для каждого $x \in \ell^{p}$ и $i \in \mathbb {N}$ , и

(b)

$A x = \left((A x)_{i}\right)_{i \in \mathbb {N}} = \left( \left\langle x, a_{i} \right\rangle \right)_{i \in \mathbb {N}} \in \ell^{q}$ для каждого $x \in \ell^{p}$ .

Отождествляя матрицу $A$ с отображением $x \mapsto A x$ , докажите, что $A \in \mathcal{B}\left(\ell^{p}, \ell^{q}\right)$ .

Задача 2.35

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства. Покажите, что $A \in \mathcal{B}(X, Y)$ сюръективен тогда и только тогда, когда $\operatorname {range}(A)$ не является тощим в $Y$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.36

Покажите, что если $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм нормированного пространства $X$ на нормированное пространство $Y$ , то последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ полна в $X$ тогда и только тогда, когда $\left\{ T x_{n}\right\}$ полна в $Y$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.37

Пусть $X$ и $Y$ — нормированные линейные пространства. Покажите, что если $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм, то $\left\| T^{-1}\right\|^{-1}\left\| x\right\| \leq \left\| T x\right\| \leq \left\| T\right\| \left\| x\right\|$ для всех $x \in X$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.38

(a)(b)

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство. Предположим, что $L: X \rightarrow Y$ ограничен и линеен. Докажите эквивалентность следующих двух утверждений.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Существует $c > 0$ , такое что $\left\| L x\right\| \geq c\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$ .

(b)

$L$ инъективен, и $\operatorname {range}(L)$ замкнут.

Покажите далее, что в случае выполнения этих условий $L: X \rightarrow \operatorname {range}(L)$ является топологическим изоморфизмом.

Задача 2.39

(a)(b)(c)

Для последовательности скаляров $\lambda = \left(\lambda_{k}\right)$ определим отображение $T_{\lambda }$ на последовательностях $x = \left(x_{k}\right)$ формулой $T_{\lambda } x = \left(\lambda_{k} x_{k}\right)$ . Докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$T_{\lambda }$ является ограниченным отображением $\ell^{2}$ в себя тогда и только тогда, когда $\lambda \in \ell^{\infty }$ .

(b)

$T_{\lambda }$ является топологическим изоморфизмом $\ell^{2}$ на себя тогда и только тогда, когда $0 < \inf \left|\lambda_{k}\right| \leq \sup \left|\lambda_{k}\right| < \infty$ .

(c)

$T_{\lambda }$ является изометрическим изоморфизмом $\ell^{2}$ на себя тогда и только тогда, когда $\left|\lambda_{k}\right| = 1$ для каждого $n$ .

Задача 2.40

Пусть $X$ — банахово пространство. Для $T \in \mathcal{B}(X)$ определим $T^{0} = I$ . Покажите, что если $\left\| T\right\| < 1$ , то $I-T$ является топологическим изоморфизмом $X$ на себя, и $(I-T)^{-1} = \sum_{n = 0}^{\infty } T^{n}$ , где ряд сходится по операторной норме (это называется рядом Неймана для $(I-T)^{-1}$ ).

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.41

Покажите, что если $X$ — банахово пространство, $Y$ — нормированное линейное пространство, и $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм, то $Y$ — банахово пространство.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.42

(a)(b)

Докажите теорему 2.31.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Если $T: X \rightarrow Y$ — топологический изоморфизм, то его сопряжённый оператор $T^{*}: Y^{*} \rightarrow X^{*}$ — топологический изоморфизм.

(b)

Если $T$ — изометрический изоморфизм, то и $T^{*}$ — изометрический изоморфизм.

Задача 2.43

Покажите, что оператор $A^{\dagger } = B^{-1} P$ , определённый в теореме 2.33, удовлетворяет утверждениям (a)-(c) этой теоремы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.44

(a)(b)(c)(d)

Предположим, что $A \in \mathcal{B}(H, K)$ имеет замкнутый образ, и пусть $A^{\dagger }$ — его псевдообратный оператор. Докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$\operatorname {ker}\left(A^{\dagger }\right) = \operatorname {range}(A)^{\perp }$ .

(b)

$\operatorname {range}\left(A^{\dagger }\right) = \operatorname {ker}(A)^{\perp }$ .

(c)

$A A^{\dagger } y = y$ для всех $y \in \operatorname {range}(A)$ .

(d)

$A^{\dagger }$ — единственный оператор в $\mathcal{B}(K, H)$ , удовлетворяющий утверждениям (a)-(c) выше.

Задача 2.45

(a)(b)(c)

Пусть $H$ — гильбертово пространство. Для положительно определённого оператора $A \in \mathcal{B}(H)$ докажите следующие утверждения.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

$A$ инъективен и имеет плотный образ.

(b)

$A$ является топологическим изоморфизмом $H$ на себя тогда и только тогда, когда он сюръективен. Приведите пример, показывающий, что положительно определённый оператор не обязан быть топологическим изоморфизмом.

(c)

Если $A$ — сюръективный положительно определённый оператор, то $(x, y) = \left\langle A x, y \right\rangle$ задаёт скалярное произведение, эквивалентное исходному скалярному произведению $\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle$ на $H$ .

Задача 2.46

Докажите утверждение теоремы 2.35 о том, что $|||\cdot |||$ является нормой на $X$ , и что $X$ полно относительно этой нормы.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.47

Используя теорему о замкнутом графике, дайте другое доказательство теоремы 2.24.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.48

(a)(b)

Используя теорему о замкнутом графике, дайте другое доказательство упражнения 2.34.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Используя теорему 2.24, покажите, что $a_{i} \in \ell^{p^{\prime }}$ для каждого $i$ .

(b)

Используя теорему о замкнутом графике, покажите, что $A$ — ограниченное отображение из $\ell^{p}$ в $\ell^{q}$ .

Задача 2.49

Пусть $C_{b}(\mathbb {R})$ и $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ такие же, как в упражнении 1.22, и предположим, что норма на обоих этих пространствах — равномерная норма. В этом случае $C_{b}(\mathbb {R})$ полно, но $C_{b}^{1}(\mathbb {R})$ — нет. Покажите, что оператор дифференцирования $D: C_{b}^{1}(\mathbb {R}) \rightarrow C_{b}(\mathbb {R})$ , заданный формулой $D f = f^{\prime }$ , неограничен, но имеет замкнутый график, то есть если $f_{n} \rightarrow f$ равномерно и $f_{n}^{\prime } \rightarrow g$ равномерно, то $f^{\prime } = g$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.50

Докажите пункт (b) теоремы 2.38.

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

Задача 2.51

(a)(b)

В этом упражнении мы будем обозначать компоненты $x \in \ell^{p}$ через $x = (x(k))$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику

(a)

Для $1 < p < \infty$ и $x_{n}, y \in \ell^{p}$ покажите, что $x_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}} y$ в $\ell^{p}$ тогда и только тогда, когда $\sup \left\| x_{n}\right\|_{\ell^{p}} < \infty$ и $x_{n}$ сходится покомпонентно к $y$ , то есть $\lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}(k) = y(k)$ для каждого $k \in \mathbb {N}$ . Остаётся ли справедливой какая-либо из импликаций при $p = 1$ ?

(b)

Для $1 \leq p \leq \infty$ и $x_{n}, y \in \ell^{p}$ покажите, что $x_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}^{*}} y$ в $\ell^{p}$ тогда и только тогда, когда $x_{n}$ сходится покомпонентно к $y$ и $\sup \left\| x_{n}\right\|_{\ell^{p}} < \infty$ (напомним, что $\ell^{1} \cong c_{0}{ }^{*}$ и $\ell^{p^{\prime }} \cong \left(\ell^{p}\right)^{*}$ при $1 \leq p < \infty$ .

Задача 2.52

Покажите, что если $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве $H$ , то $x_{n} \xrightarrow {\mathrm{w}} 0$ .

Происхождение: Переведено ИИ с другой версии содержимого этого же узла

Создано на основе: Изложено по оригинальному источнику