Задачи

Пусть $\ldots , X_{-1}, X_{0}, X_{1}, \ldots$ — некоррелированные случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями, и определим

где $\alpha$ и $\beta$ — константы, удовлетворяющие $\left|\beta \right| < 1,\left|\beta -\alpha \right| < 1$. Найдите наилучший линейный прогноз $Y_{n+1}$ по всему прошлому $Y_{n}, Y_{n-1}, \ldots$

Пусть $\left\{ Y_{k}:-\infty < k < \infty \right\}$ — стационарная последовательность с дисперсией $\sigma_{Y}^{2}$, и пусть

где $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{r}$ — константы. Покажите, что $X$ имеет спектральную плотность

где $f_{Y}$ — спектральная плотность $Y, \sigma_{X}^{2} = \operatorname {Var}\left[X_{1}\right]$, а $G_{a}(z) = \sum_{k = 0}^{r} a_{k} z^{k}$. Вычислите эту спектральную плотность в явном виде в случае «экспоненциального сглаживания», когда $r = \infty$, $a_{k} = \mu^{k}(1-\mu )$, и $0 < \mu < 1$.

Предположим, что $\widehat{Y}_{n+1} = \alpha Y_{n}+\beta Y_{n-1}$ является наилучшим линейным прогнозом $Y_{n+1}$ по всему прошлому $Y_{n}, Y_{n-1}, \ldots$ стационарной последовательности $\left\{ Y_{k}:-\infty < k < \infty \right\}$. Найдите спектральную плотность последовательности.

Метеориты падают в целочисленные моменты времени $T_{1}, T_{2}, \ldots$, где $T_{n} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$. Мы предполагаем, что $X_{i}$ независимы, $X_{2}, X_{3}, \ldots$ одинаково распределены, а распределение $X_{1}$ таково, что вероятность падения метеорита в момент времени $n$ постоянна для всех $n$. Пусть $Y_{n}$ — индикаторная функция события, что метеорит падает в момент времени $n$. Покажите, что $\left\{ Y_{n}\right\}$ стационарна, и найдите её спектральную плотность через характеристическую функцию $X_{2}$.

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ задаётся как $X_{n} = \cos (n U)$, где $U$ равномерно распределена на $[-\pi , \pi ]$. Покажите, что $X$ стационарна, но не строго стационарна. Найдите автокорреляционную функцию $X$ и её спектральную плотность.

Пусть $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — некоррелированные величины, каждая с нулевым средним и единичной дисперсией.

Покажите, что комплекснозначный стационарный процесс $X = \left\{ X(t):-\infty < t < \infty \right\}$ имеет спектральную плотность, которая ограничена и равномерно непрерывна всякий раз, когда его автокорреляционная функция $\rho$ непрерывна и удовлетворяет $\int_{0}^{\infty }\left|\rho (t)\right| d t < \infty$.

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ стационарна с постоянным средним $\mu = \mathbb {E}\left[X_{n}\right]$ для всех $n$, и такова, что $\operatorname {Cov}\left[X_{1}, X_{n}\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$. Покажите, что $n^{-1} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} \xrightarrow {\text{ с.к. }} \mu$.

Выведите усиленный закон больших чисел из подходящей эргодической теоремы.

Пусть $\mathbb {Q}$ — стационарная мера на $\left(\mathbb {R}^{T}, \mathscr {B}^{T}\right)$, где $T = \left\{ 1,2, \ldots \right\}$. Покажите, что $\mathbb {Q}$ эргодична тогда и только тогда, когда

для всех $Y: \mathbb {R}^{T} \rightarrow \mathbb {R}$, для которых $\mathbb {E}\left[Y\right]$ существует, где $Y_{i}: \mathbb {R}^{T} \rightarrow \mathbb {R}$ задаётся как $Y_{i}(\mathbf{x}) = Y\left(\tau^{i-1}(\mathbf{x})\right)$. Как обычно, $\tau$ — естественный оператор сдвига на $\mathbb {R}^{T}$.

Стационарная мера $\mathbb {Q}$ на $\left(\mathbb {R}^{T}, \mathscr {B}^{T}\right)$ называется сильно перемешивающей, если $\mathbb {Q}\left(A \cap \tau^{-n} B\right) \rightarrow \mathbb {Q}\left(A\right) \mathbb {Q}\left(B\right)$ при $n \rightarrow \infty$, для всех $A, B \in \mathscr {B}^{T}$; как обычно, $T = \left\{ 1,2, \ldots \right\}$, а $\tau$ — оператор сдвига на $\mathbb {R}^{T}$. Покажите, что всякая сильно перемешивающая мера эргодична.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство, и пусть $T: \Omega \rightarrow \Omega$ измеримо и сохраняет меру (т.е. $\mathbb {P}\left(T^{-1} A\right) = \mathbb {P}\left(A\right)$ для всех $A \in \mathcal{F}$). Пусть $X: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ — случайная величина, и пусть $X_{i}$ задаётся как $X_{i}(\omega ) = X\left(T^{i-1}(\omega )\right)$. Покажите, что

где $l$ — $\sigma$-алгебра инвариантных событий $T$. Если $T$ эргодично (в том смысле, что $\mathbb {P}\left(A\right)$ равно 0 или 1, когда $A$ инвариантно), докажите, что $\mathbb {E}\left[X \mid \ell \right] = \mathbb {E}\left[X\right]$ почти наверное.

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$, где $\Omega = [0,1)$, $\mathcal{F}$ — множество борелевских подмножеств, а $\mathbb {P}$ — мера Лебега.

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ периодична с периодом $1$, равномерно непрерывна и интегрируема на $[0,1]$. Определим $Z_{n} = g(X+(n-1) \alpha ), n \geq 1$, где $X$ равномерна на $[0,1]$, а $\alpha$ иррационально. Покажите, что при $n \rightarrow \infty$

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — неубывающий случайный процесс, такой что:

(a) $X(0) = 0$, $X$ принимает значения в неотрицательных целых числах,

(b) $X$ имеет стационарные независимые приращения,

(c) траектории $\left\{ X(t, \omega ): t \geq 0\right\}$ имеют только скачкообразные разрывы единичной величины. Покажите, что $X$ является пуассоновским процессом.

Пусть $X$ — процесс с непрерывным временем. Покажите, что:

Винеровский процесс $W$ называется стандартным, если $W(0) = 0$ и $W(1)$ имеет единичную дисперсию. Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, а $\alpha$ — положительная константа. Покажите, что:

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что стохастические интегралы

корректно определены, и докажите, что $X(t) = W(t)$, и что $Y$ имеет автоковариационную функцию $\operatorname {Cov}\left[Y(s), Y(t)\right] = \frac{1}{2}\left(e^{-\left|s-t\right|}-e^{-s-t}\right), s < t$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Найдите средние следующих трёх процессов и автоковариационные функции в случаях (b) и (c):

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Найдите условную совместную плотность $W\left(t_{2}\right)$ и $W\left(t_{3}\right)$ при условии $W\left(t_{1}\right) = W\left(t_{4}\right) = 0$, где $t_{1} < t_{2} < t_{3} < t_{4}$.

Покажите, что условная корреляция $W\left(t_{2}\right)$ и $W\left(t_{3}\right)$ равна

Пусть $U_{1}, U_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с равномерным распределением на $[0,1]$. Пусть $I_{j}(x)$ — индикаторная функция события $\left\{ U_{j} \leq x\right\}$, и определим

Функция $F_{n}$ называется «эмпирической функцией распределения» величин $U_{j}$.

Урна изначально содержит один красный шар и один зелёный шар. На последующих этапах из урны равномерно случайно выбирается шар и возвращается в урну вместе с новым шаром того же цвета. Предполагается обычная независимость. Пусть $X_{k}$ — индикаторная функция события, что $k$-й вынутый шар красный.