Гауссовские процессы

Покажите, что функция $c(s, t) = \min \left\{ s, t\right\}$ положительно определена. То есть покажите, что

для всех $0 \leq t_{1} < t_{2} < \cdots < t_{n}$ и всех комплексных чисел $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, из которых хотя бы одно ненулевое.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — стационарная гауссовская последовательность с нулевыми средними и единичными дисперсиями, удовлетворяющая марковскому свойству. Найдите спектральную функцию плотности последовательности через константу $\rho = \operatorname {Cov}\left[X_{1}, X_{2}\right]$.

Покажите, что гауссовский процесс строго стационарен тогда и только тогда, когда он слабо стационарен.

Пусть $X$ — стационарный гауссовский процесс с нулевым средним, единичной дисперсией и автоковариационной функцией $c(t)$. Найдите автоковариационные функции процессов

Пусть $X(s, t)$ — двухпараметрический гауссовский процесс с нулевым средним на положительном квадранте $[0, \infty )^{2}$ пространства $\mathbb {R}^{2}$, с ковариационной функцией $\operatorname {Cov}\left[X(s, t), X(u, v)\right] = (s \wedge u)(t \wedge v)$, где $x \wedge y = \min \left\{ x, y\right\}$. Для любого прямоугольника $R$ с углами $(s, t),(u, t),(s, v),(u, v)$, где $0 \leq s < u < \infty$ и $0 \leq t < v < \infty$, определим

Найдите $\operatorname {Var}\left[Y(R)\right]$, и покажите, что $Y$ имеет независимые приращения.