Теорема об эргодичности

Пусть $T = \left\{ 1,2, \ldots \right\}$, и пусть $\ell$ — множество инвариантных событий $\left(\mathbb {R}^{T}, \mathscr {B}^{T}\right)$. Покажите, что $\ell$ является $\sigma$-алгеброй.

Предположим, что $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — стационарная последовательность с автоковариационной функцией $c(m)$. Покажите, что

Предполагая, что $j^{-1} \sum_{i = 0}^{j-1} c(i) \rightarrow \sigma^{2}$ при $j \rightarrow \infty$, покажите, что

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть

где $\alpha_{i}$ — константы, удовлетворяющие $\sum_{i} \alpha_{i}^{2} < \infty$. Используя теорему о сходимости мартингалов, покажите, что указанная сумма сходится почти наверное и в среднем квадратичном. Докажите, что $n^{-1} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} \rightarrow 0$ п.н. и в среднем при $n \rightarrow \infty$.