9.2

Линейный прогноз

[2/100%]
Показать
LaTeX
Задача 9.2.1

Пусть XX — (слабо) стационарная последовательность с нулевым средним и автоковариационной функцией c(m)c(m).

(i) Найдите наилучший линейный прогноз X^n+1\widehat{X}_{n+1} величины Xn+1X_{n+1} по XnX_{n}.

(ii) Найдите наилучший линейный прогноз X~n+1\widetilde{X}_{n+1} величины Xn+1X_{n+1} по XnX_{n} и Xn−1X_{n-1}.

(iii) Найдите выражение для D=E[(Xn+1−X^n+1)2]−E[(Xn+1−X~n+1)2]D = \mathbb {E}\left[\left(X_{n+1}-\widehat{X}_{n+1}\right)^{2}\right]-\mathbb {E}\left[\left(X_{n+1}-\widetilde{X}_{n+1}\right)^{2}\right], и вычислите это выражение, когда:

?
(a)

Xn=cos⁡(nU)X_{n} = \cos (n U), где UU равномерна на [−π,π][-\pi , \pi ],

(b)

XX — авторегрессионная схема с c(k)=α∣k∣c(k) = \alpha^{\left|k\right|}, где ∣α∣<1\left|\alpha \right| < 1.

Задача 9.2.2

Существует ли (слабо) стационарная последовательность {Xn:−∞<n<∞}\left\{ X_{n}:-\infty < n < \infty \right\} с нулевыми средними и автоковариационной функцией

c(k)={1 если k=0a1+a2 если ∣k∣=10 если ∣k∣>1 c(k) = \begin{cases} 1 & \text{ если } k = 0 \\ \frac{a}{1+a^{2}} & \text{ если }\left|k\right| = 1 \\ 0 & \text{ если }\left|k\right| > 1\end{cases}

Предполагая, что такая последовательность существует, найдите наилучший линейный прогноз X^n\widehat{X}_{n} величины XnX_{n} по Xn−1X_{n-1}, Xn−2,…X_{n-2}, \ldots, и покажите, что среднеквадратичная ошибка прогноза равна (1+a2)−1\left(1+a^{2}\right)^{-1}. Проверьте, что {X^n}\left\{ \hat{X}_{n}\right\} (слабо) стационарна.

?