Введение

Пусть $\ldots , Z_{-1}, Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ — независимые вещественные случайные величины с нулевыми средними и дисперсиями $1$, и пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$. Покажите, что существует (слабо) стационарная последовательность $\left\{ W_{n}\right\}$, удовлетворяющая $W_{n} = \alpha W_{n-1}+\beta W_{n-2}+Z_{n}, n = \ldots ,-1,0,1, \ldots$, если (возможно комплексные) корни квадратного уравнения $z^{2}-\alpha z-\beta = 0$ по модулю меньше 1.

Пусть $U$ равномерно распределена на $[0,1]$ с двоичным разложением $U = \sum_{i = 1}^{\infty } X_{i} 2^{-i}$. Покажите, что последовательность

строго стационарна, и вычислите её автоковариационную функцию.

Пусть $\left\{ X_{n}: n = \ldots ,-1,0,1, \ldots \right\}$ — стационарная вещественная последовательность с нулевым средним и автоковариационной функцией $c(m)$.

(i) Покажите, что бесконечный ряд $\sum_{n = 0}^{\infty } a_{n} X_{n}$ сходится почти наверное и в среднем квадратичном, если $\sum_{n = 0}^{\infty }\left|a_{n}\right| < \infty$.

(ii) Пусть

где $\sum_{k = 0}^{\infty }\left|a_{k}\right| < \infty$. Найдите выражение для автоковариационной функции $c_{Y}$ величины $Y$, и покажите, что

Пусть $X = \left\{ X_{n}: n \geq 0\right\}$ — марковская цепь с дискретным временем со счётным пространством состояний $S$ и стационарным распределением $\mathbf{\pi }$, и предположим, что $X_{0}$ имеет распределение $\mathbf{\pi }$. Покажите, что последовательность $\left\{ f\left(X_{n}\right): n \geq 0\right\}$ строго стационарна для любой функции $f: S \rightarrow \mathbb {R}$.

Пусть $W, X, Y, Z$ имеют многомерное нормальное распределение с нулевыми средними и ковариационной матрицей

Пусть $U = W+i X$ и $V = Y+i Z$. Покажите, что $U$ и $V$ некоррелированы, но не независимы. Почему это не противоречит выводу примера (4.5.9) о том, что многомерные нормальные случайные величины независимы тогда и только тогда, когда они некоррелированы?

Пусть $X_{n} = \cos (n S+U)$ при $n \in \mathbb {Z}$, где $U$ равномерно распределена на $(-\pi , \pi )$, а $S$ независима от $U$ и имеет плотность $g$, симметричную на своём носителе $(-\pi , \pi )$. Покажите, что $X = \left\{ X_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\}$ слабо стационарна, и найдите её автокорреляционную функцию $\rho_{X}$.

Пусть $Y_{n} = Z_{n}+a Z_{n-1}$ при $n \in \mathbb {Z}$, где $\left|a\right| < 1$, а $Z_{n}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Можно ли выбрать $g$ так, чтобы $Y = \left\{ Y_{n}: n \in \mathbb {Z}\right\}$ имела ту же автокорреляционную функцию, что и $X$? Если да, то как?