Теорема о сходимости мартингала

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины с нулевыми средними и конечными дисперсиями, и пусть $S_{n} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$. Используя неравенство Дуба-Колмогорова, покажите, что

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, такие что $\sum_{n} n^{-2} \operatorname {Var}\left[X_{n}\right] < \infty$. Используя неравенство Колмогорова, докажите, что

для некоторой конечной случайной величины $Y$, и выведите отсюда, что

(Может оказаться полезной лемма Кронекера: если $\left(a_{n}\right)$ и $\left(b_{n}\right)$ — вещественные последовательности с $b_{n} \uparrow \infty$ и $\sum_{i} a_{i} / b_{i} < \infty$, то $b_{n}^{-1} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$.)

Пусть $S$ — мартингал относительно $X$, такой что $\mathbb {E}\left[S_{n}^{2}\right] < K < \infty$ при некотором $K \in \mathbb {R}$. Предположим, что $\operatorname {Var}\left[S_{n}\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$, и докажите, что $S = \lim_{n \rightarrow \infty } S_{n}$ существует и почти наверное постоянен.