Закон итерированного логарифма

Говорят, что функция $\phi (x)$ принадлежит «верхнему классу», если, в обозначениях этого раздела, $\mathbb {P}\left(S_{n} > \phi (n) \sqrt{n} \text{ б.ч.}\right) = 0$. Следствием закона повторного логарифма является то, что $\sqrt{\alpha \log \log x}$ принадлежит верхнему классу при всех $\alpha > 2$. Используя первую лемму Бореля-Кантелли, докажите гораздо более слабый факт, что $\phi (x) = \sqrt{\alpha \log x}$ принадлежит верхнему классу при всех $\alpha > 2$, в частном случае, когда $X_{i}$ — независимые величины $N(0,1)$.