Строгий закон

Интервал $[0,1]$ разбит на $n$ непересекающихся подынтервалов длиной $p_{1}, p_{2}, \ldots$, $p_{n}$, и энтропия этого разбиения определяется как

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $[0,1]$, и пусть $Z_{m}(i)$ — число величин среди $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{m}$, попавших в $i$-й интервал указанного разбиения. Покажите, что

удовлетворяет $m^{-1} \log R_{m} \rightarrow -h$ почти наверное при $m \rightarrow \infty$.

Катастрофы происходят в моменты времени $T_{1}, T_{2}, \ldots$, где $T_{i} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{i}$, а $X_{i}$ — независимые одинаково распределённые положительные случайные величины. Пусть $N(t) = \max \left\{ n: T_{n} \leq t\right\}$ — число катастроф, произошедших к моменту $t$. Докажите, что если $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] < \infty$, то $N(t) \rightarrow \infty$ и $N(t) / t \rightarrow 1 / \mathbb {E}\left[X_{1}\right]$ при $t \rightarrow \infty$, почти наверное.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, принимающие значения в целых числах $\mathbb {Z}$ и имеющие конечное среднее. Покажите, что марковская цепь $S = \left\{ S_{n}\right\}$, заданная как $S_{n} = \sum_{1}^{n} X_{i}$, невозвратна, если $\mathbb {E}\left[X_{1}\right] \neq 0$.