Законы больших чисел

Пусть $X_{2}, X_{3}, \ldots$ — независимые случайные величины, такие что

Покажите, что эта последовательность подчиняется слабому закону, но не усиленному закону, в том смысле, что $n^{-1} \sum_{1}^{n} X_{i}$ сходится к 0 по вероятности, но не почти наверное.

Постройте последовательность $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ независимых случайных величин с нулевым средним, такую что $n^{-1} \sum_{r = 1}^{n} X_{r} \rightarrow -\infty$ почти наверное при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $N$ — пространственный пуассоновский процесс с постоянной интенсивностью $\lambda$ в $\mathbb {R}^{d}$, где $d \geq 2$. Пусть $S$ — шар радиуса $r$ с центром в нуле. Покажите, что $N(S) /\left|S\right| \rightarrow \lambda$ почти наверное при $r \rightarrow \infty$, где $\left|S\right|$ — объём шара.

В каждой из последовательности независимых ставок игрок либо выигрывает $30 \%$, либо теряет $25 \%$ своего текущего капитала, каждое с вероятностью $\frac{1}{2}$. Обозначая её капитал после $n$ ставок через $F_{n}$, покажите, что $\mathbb {E}\left[F_{n}\right] \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$, тогда как $F_{n} \rightarrow 0$ почти наверное.

Пусть $S_{n} = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$ — сумма независимых одинаково распределённых случайных величин. Пусть $\delta , \epsilon > 0$, и определим усечённые величины $Y_{j} = X_{j} I_{\left\{ \left|X_{j}\right| \leq \delta n\right\} }$. Пусть $A = \left\{ X_{j} = Y_{j} \text{ при } j = 1,2, \ldots , n\right\}$, и $B = \left\{ \left|S_{n}-n \mathbb {E}\left[Y_{1}\right]\right| \geq \epsilon n\right\}$. Докажите, что: