Некоторые вспомогательные результаты

Покажите, что вероятность того, что произойдёт бесконечно много событий $\left\{ A_{n}: n \geq 1\right\}$, удовлетворяет $\mathbb {P}\left(A_{n} \text{ б.ч.}\right) \geq \lim \sup_{n \rightarrow \infty } \mathbb {P}\left(A_{n}\right)$.

Пусть $\left\{ S_{n}: n \geq 0\right\}$ — простое случайное блуждание, которое на каждом шаге сдвигается вправо с вероятностью $p$, и пусть $S_{0} = 0$. Обозначим $X_{n} = S_{n}-S_{n-1}$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины. Событие $A$, определённое в терминах $X_{n}$, называется перестановочным (обмениваемым), если $A$ инвариантно относительно конечных перестановок координат, то есть его индикаторная функция $I_{A}$ удовлетворяет $I_{A}\left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}, \ldots \right) = I_{A}\left(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}, \ldots , X_{i_{n}}, X_{n+1}, \ldots \right)$ при всех $n \geq 1$ и всех перестановках $\left(i_{1}, i_{2}, \ldots , i_{n}\right)$ чисел $(1,2, \ldots , n)$. Покажите, что для всякого перестановочного события $A$ либо $\mathbb {P}\left(A\right) = 0$, либо $\mathbb {P}\left(A\right) = 1$.

Возвращаясь к простому случайному блужданию $S$ из упражнения (7.3.3), покажите, что $\left\{ S_{n} = 0 \text{ б.ч.}\right\}$ — перестановочное событие относительно шагов блуждания, и выведите из закона нуля или единицы Хьюитта-Сэвиджа, что его вероятность равна либо 0, либо 1.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция, и пусть $S_{n}$ — случайная величина, имеющая биномиальное распределение с параметрами $n$ и $x$. Используя формулу $\mathbb {E}\left[Z\right] = \mathbb {E}\left[Z I_{A}\right]+\mathbb {E}\left[Z I_{A^{\complement }}\right]$ с $Z = f(x)-f\left(n^{-1} S_{n}\right)$ и $A = \left\{ \left|n^{-1} S_{n}-x\right| > \delta \right\}$, покажите, что

Вы доказали теорему Вейерштрасса об аппроксимации, утверждающую, что всякая непрерывная функция на $[0,1]$ может быть равномерно на этом интервале приближена многочленом.

Говорят, что последовательность случайных величин $X_{1}, X_{2}, \ldots$ полностью сходится к $X$, если

Покажите, что для последовательностей независимых величин полная сходимость эквивалентна п.н.-сходимости. Найдите последовательность (зависимых) случайных величин, которая сходится п.н., но не полностью.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с общим средним $\mu$ и конечной дисперсией. Покажите, что

Пусть $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ — независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром 1. Покажите, что

Пусть $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ — независимые случайные величины со стандартным нормальным распределением $N(0,1)$. Покажите, что:

Постройте пример, показывающий, что сходимость по распределению $X_{n}$ к $X$ не влечёт сходимости единственных медиан последовательности $X_{n}$.

(i) Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые, неотрицательные и одинаково распределённые случайные величины с бесконечным средним. Покажите, что $\lim_{\sup_{r \rightarrow \infty }} X_{r} / r = \infty$ почти наверное.

(ii) Пусть $\left\{ X_{r}\right\}$ — стационарная марковская цепь на положительных целых числах с переходными вероятностями

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины со средним $\mu$ и конечной дисперсией $\sigma^{2}$. Пусть $\overline{X} = n^{-1} \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$. Покажите, что

сходится по распределению к распределению $N(0,1)$ при $n \rightarrow \infty$.

Для случайной величины $X$ со средним $0$, дисперсией $\sigma^{2}$ и $\mathbb {E}\left[X^{4}\right] < \infty$ покажите, что