Способы сходимости

Предположим, что $\left|X_{n}\right| \leq Z$ при всех $n$, где $\mathbb {E}\left[Z\right] < \infty$. Докажите, что если $X_{n} \xrightarrow {\mathrm{P}} X$, то $X_{n} \xrightarrow {1} X$.

Покажите, что сходимость по распределению эквивалентна сходимости по метрике Леви из упражнения (7.1.4).

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — случайные величины на вероятностном пространстве $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$. Покажите, что множество $A = \left\{ \omega \in \Omega \colon \text{последовательность } X_{n}(\omega ) \text{ сходится}\right\}$ является событием (то есть принадлежит $\mathcal{F}$), и что существует случайная величина $X$ (то есть $\mathcal{F}$-измеримая функция $X: \Omega \rightarrow \mathbb {R}$), такая что $X_{n}(\omega ) \rightarrow X(\omega )$ для $\omega \in A$.

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность случайных величин, и пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел, сходящаяся к пределу $c$. Покажите, что сходимость $X_{n}$ к $X$ влечёт сходимость $c_{n} X_{n}$ к $c X$, для сходимости

Пусть $\left\{ X_{n}\right\}$ — последовательность независимых случайных величин, сходящаяся по вероятности к пределу $X$. Покажите, что $X$ почти наверное постоянна.

Говорят, что последовательность дискретных случайных величин $X_{n}$ с функциями вероятностей $f_{n}$ сходится по вариации к $X$ с функцией вероятностей $f$, если

Предположим, что $X_{n} \rightarrow X$ по вариации, и $u: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ограничена. Покажите, что $\mathbb {E}\left[u\left(X_{n}\right)\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[u(X)\right]$.

Пусть $\left\{ X_{r}: r \geq 1\right\}$ — независимые пуассоновские величины с параметрами $\left\{ \lambda_{r}: r \geq 1\right\}$ соответственно. Покажите, что $\sum_{r = 1}^{\infty } X_{r}$ сходится или расходится почти наверное в зависимости от того, сходится или расходится $\sum_{r = 1}^{\infty } \lambda_{r}$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на $\left\{ 1,2, \ldots , m\right\}$, и пусть $I_{m} = \min \left\{ r \geq 2: X_{r} = X_{S} \text{ при некотором } s < r\right\}$ — наименьший индекс совпадения значений. Покажите, что $I_{m} / \sqrt{m}$ сходится по распределению при $m \rightarrow \infty$ к распределению Рэлея с плотностью $f(x) = x e^{-\frac{1}{2} x^{2}}, x > 0$.

Случайная величина $X$ имеет конечные моменты всех порядков и удовлетворяет $\mathbb {P}\left(X > 0\right) = 1$, $\mathbb {P}\left(X > x\right) > 0$ при $x > 0$.