Равномерная интегрируемость

Покажите, что сумма $\left\{ X_{n}+Y_{n}\right\}$ двух равномерно интегрируемых последовательностей $\left\{ X_{n}\right\}$ и $\left\{ Y_{n}\right\}$ даёт равномерно интегрируемую последовательность.

Пусть $g:[0, \infty ) \rightarrow [0, \infty )$ — возрастающая функция, удовлетворяющая $g(x) / x \rightarrow \infty$ при $x \rightarrow \infty$. Покажите, что последовательность $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ равномерно интегрируема, если $\sup_{n} \mathbb {E}\left[g\left(\left|X_{n}\right|\right)\right] < \infty$.

Пусть $\left\{ Z_{n}: n \geq 0\right\}$ — размеры поколений ветвящегося процесса с $Z_{0} = 1, \mathbb {E}\left[Z_{1}\right] = 1$, $\operatorname {Var}\left[Z_{1}\right] \neq 0$. Покажите, что $\left\{ Z_{n}: n \geq 0\right\}$ не является равномерно интегрируемой.

Предположим, что $X_{n} \leq Y_{n} \leq Z_{n}$, где $X_{n} \xrightarrow {\mathrm{P}} X, Y_{n} \xrightarrow {\mathrm{P}} Y$, и $Z_{n} \xrightarrow {\mathrm{P}} Z$. Если $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[X\right]$ и $\mathbb {E}\left[Z_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[Z\right]$, покажите, что $\mathbb {E}\left[Y_{n}\right] \rightarrow \mathbb {E}\left[Y\right]$.

Пусть $\left\{ X_{n}: n \geq 1\right\}$ — последовательность величин, удовлетворяющая $\mathbb {E}\left[\sup_{n}\left|X_{n}\right|\right] < \infty$. Покажите, что $\left\{ X_{n}\right\}$ равномерно интегрируема.

Приведите пример равномерно интегрируемой последовательности $\left\{ X_{n}\right\}$ случайных величин и $\sigma$-алгебры $q$, таких что $X_{n} \xrightarrow {\text{ п.н. }} X$ при $n \rightarrow \infty$, но $\mathbb {E}\left[X_{n} \mid g\right]$ не сходится п.н. к $\mathbb {E}\left[X \mid \mathcal{g}\right]$.