Банк задач по математике

Задача 7.1.1

(a)(b)(c)

Пусть $r \geq 1$ , и определим $\left\| X\right\|_{r} = \left\{ \mathbb {E}\left[\left|X^{r}\right|\right]\right\}^{1 / r}$ . Покажите, что:

?

(a)

$\left\| c X\right\|_{r} = \left|c\right| \cdot \left\| X\right\|_{r}$ для $c \in \mathbb {R}$ ,

(b)

$\left\| X+Y\right\|_{r} \leq \left\| X\right\|_{r}+\left\| Y\right\|_{r}$

(c)

$\left\| X\right\|_{r} = 0$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(X = 0\right) = 1$ .

Это означает, что $\left\| \cdot \right\|_{r}$ является нормой на множестве классов эквивалентности случайных величин на данном вероятностном пространстве с конечным $r$ -м моментом, где отношение эквивалентности задаётся как $X \sim Y$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {P}\left(X = Y\right) = 1$ .

Задача 7.1.2

(a)(b)(c)

Определим $\langle X, Y\rangle = \mathbb {E}\left[X Y\right]$ для случайных величин $X$ и $Y$ с конечной дисперсией, и определим $\left\| X\right\| = \sqrt{ }\langle X, X\rangle$ . Покажите, что:

?

(a)

$\langle a X+b Y, Z\rangle = a\langle X, Z\rangle +b\langle Y, Z\rangle$ ,

(b)

$\left\| X+Y\right\|^{2}+\left\| X-Y\right\|^{2} = 2\left(\left\| X\right\|^{2}+\left\| Y\right\|^{2}\right)$ — свойство параллелограмма,

(c)

если $\left\langle X_{i}, X_{j} \right\rangle = 0$ для всех $i \neq j$ , то

\left\| \sum _{i = 1}^{n} X_{i}\right\| ^{2} = \sum _{i = 1}^{n}\left\| X_{i}\right\| ^{2}

Задача 7.1.3

Пусть $g, h:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ , и определим $d_{\epsilon }(g, h) = \int_{E} d x$ , где $E = \left\{ u \in [0,1] : \left|g(u)-h(u)\right| > \epsilon \right\}$ . Покажите, что $d_{\epsilon }$ не удовлетворяет неравенству треугольника.

?

Задача 7.1.4

Для двух функций распределения $F$ и $G$ положим

d(F, G) = \inf \left\{ \delta > 0: F(x-\delta )-\delta \leq G(x) \leq F(x+\delta )+\delta \text{ для всех } x \in \mathbb {R}\right\}

Покажите, что $d$ является метрикой на пространстве функций распределения.

?

Задача 7.1.5

Найдите случайные величины $X, X_{1}, X_{2}, \ldots$ , такие что $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}-X\right|^{2}\right] \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , но $\mathbb {E}\left[\left|X_{n}\right|\right] = \infty$ при всех $n$ .

?

Введение