Примеры характеристических функций

Если $\phi$ — характеристическая функция, покажите, что $\bar{\phi }, \phi^{2},\left|\phi \right|^{2}, \operatorname {Re}(\phi )$ являются характеристическими функциями. Покажите, что $\left|\phi \right|$ не обязательно является характеристической функцией.

Покажите, что

где $M_{X}$ — производящая функция моментов $X$. Выведите, что если $X$ имеет распределение $N(0,1)$, то

Пусть $X$ имеет распределение $\Gamma (\lambda , m)$, и пусть $Y$ не зависит от $X$ и имеет бета-распределение с параметрами $n$ и $m-n$, где $m$ и $n$ — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие $n \leq m$. Покажите, что $Z = X Y$ имеет распределение $\Gamma (\lambda , n)$.

Найдите характеристическую функцию $X^{2}$, когда $X$ имеет распределение $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$.

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — независимые величины с распределением $N(0,1)$. Используя характеристические функции, найдите распределение:

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ таковы, что для всех $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} \in \mathbb {R}$ линейная комбинация $a_{1} X_{1}+ a_{2} X_{2}+\cdots +a_{n} X_{n}$ имеет нормальное распределение. Покажите, что совместная характеристическая функция $X_{m}$ равна $\exp \left(i \mathbf{t} \mathbf{\mu }^{\prime }-\frac{1}{2} \mathbf{t} \mathbf{\mathbf{ t }^{ \prime }}\right)$ для некоторого вектора $\mathbf{\mu }$ и матрицы $\mathbf{V}$. Выведите, что вектор $\left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)$ имеет многомерную нормальную плотность, если только $\mathbf{V}$ обратима.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины с распределением $N(0,1)$, и пусть $U$ и $V$ не зависят от $X$ и $Y$. Покажите, что $Z = (U X+V Y) / \sqrt{U^{2}+V^{2}}$ имеет распределение $N(0,1)$. Сформулируйте обобщение этого результата на случай, когда $X$ и $Y$ имеют двумерное нормальное распределение с нулевыми средними, единичными дисперсиями и корреляцией $\rho$.

Пусть $X$ имеет показательное распределение с параметром $\lambda$. Покажите с помощью элементарного интегрирования, что $\mathbb {E}\left[e^{i t X}\right] = \lambda /(\lambda -i t)$.

Найдите характеристические функции следующих плотностей:

Возможно ли, чтобы $X, Y$ и $Z$ имели одинаковое распределение и удовлетворяли $X = U(Y+Z)$, где $U$ равномерно распределена на $[0,1]$, а $Y, Z$ не зависят от $U$ и друг от друга? (Этот вопрос возникает при моделировании перераспределения энергии между физическими частицами.)

Найдите совместную характеристическую функцию двух случайных величин, имеющих двумерное нормальное распределение с нулевыми средними. (Интегрирование не требуется.)

Выборка из нормального распределения. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины с распределением $N\left(\mu , \sigma^{2}\right)$, где $\sigma > 0$. Пусть

— выборочное среднее и дисперсия. Покажите, что $\operatorname {Cov}\left[\bar{X}, X_{i}-\bar{X}\right] = 0$, и выведите, что $\bar{X}$ и $S^{2}$ независимы.

Покажите, что

и, используя характеристические функции, докажите, что $(n-1) S^{2} / \sigma^{2}$ имеет распределение $\chi^{2}(n-1)$.

Пусть вектор $\left(X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}\right)$ имеет многомерное нормальное распределение с нулевыми средними. Покажите, что при нечётном $n, \mathbb {E}\left[X_{1} X_{2} \cdots X_{n}\right] = 0$, а при $n = 2 m$

то есть сумма по всем произведениям математических ожиданий $m$ различных пар переменных.

8.4), продолжение. Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots , X_{n}$ — независимые случайные величины, имеющие соответственно показательное распределение с параметром $\lambda_{r}$ при $r = 1,2, \ldots , n$.

Используя производящие функции моментов, найдите плотность суммы $S = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$. Выведите, что для любого набора $\left\{ \lambda_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ различных положительных чисел

Пусть $X$ имеет распределение $N(0,1)$, и пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ достаточно гладкая функция. Покажите, что

и выведите, что $\mathbb {E}\left[X f(X\right]) = \mathbb {E}\left[f^{\prime }(X)\right]$.

Найдите характеристическую функцию распределения $N(0,1)$, не используя методы комплексного анализа. [Указание: рассмотрите производную характеристической функции и используйте подходящую теорему для дифференцирования под знаком интеграла.]

Пусть $X$ — неотрицательная случайная величина с $0 < \mu = \mathbb {E}\left[X\right] < \infty$. Говорят, что случайная величина $Y$ имеет распределение $X$, взвешенное по размеру, если $d F_{Y}(x) = (x / \mu ) d F_{X}(x)$ для всех $x$. (Это можно понимать как то, что $f_{Y}(x) \propto x f_{X}(x)$, если $X$ либо дискретна с функцией вероятности $f_{X}$, либо непрерывна с плотностью $f_{X}$.)

Покажите, что: